¿Son equivalentes estas dos formas diferentes del operador de compresión?

Hasta donde yo sé, el operador de compresión se puede presentar como:

S ( z ) = Exp ⁡ ( 1 2 z a † a † − 1 2 z ∗ a a )
dónde z = r mi i θ .

Cuando traté de usar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para expandir S ( z ) , encontré un artículo "Imposibilidad de generalizar ingenuamente estados coherentes comprimidos" PRD 29, 1107 (1984), donde

S ′ ( z ) = Exp ⁡ ( 1 2 mi i θ bronceado ⁡ r a † a † − 1 2 mi − i θ bronceado ⁡ r a a + ( sech r − 1 ) a † a − 1 2 en ⁡ ( aporrear ⁡ r ) ) .

No pude ver que son equivalentes entre sí. Yo sé eso

límite r − > 0 S ′ ( z ) = S ( z ) ,

pero no creo que exista tal suposición cuando tratamos con la mayoría de los casos. ¿Entendí mal algo aquí?

¿Resulta esto de la acción del operador de desplazamiento? D ( α )   =   mi X pag ( α a † − α ∗ a ) en el operador de estado exprimido S ( z ) ? La fórmula BCH generalmente se aplica a la multiplicación de operadores exponenciados.
@LawrenceB.Crowell No lo creo, no hay α en la segunda fórmula, y creo que es para el estado de vacío comprimido. Hay una fórmula de Zassenhaus para una expresión como mi X pag ( a + b ) , como veo en la página de wikipedia de la fórmula BCH: en.wikipedia.org/wiki/… .
Debe revisar su pregunta, ya que es engañosa: S 'y S no son iguales/equivalentes entre sí. Los autores son magníficamente oscuros en su uso del operador de orden normal η , que significa poco para mí, incluso dándoles el beneficio de la duda. En la página siguiente, detallan todo claramente y le muestran cómo ir fácilmente a (3.2) desde S, a través de (3.7) y luego (3.8). Sería más feliz ignorando (3.1) y su ambigüedad gonzo.

Respuestas (3)

La descomposición habitual es

S ( z ) = Exp ⁡ { 1 2 ( z a † 2 − z ∗ a 2 ) } = Exp ⁡ { mi i θ 1 2 bronceado ⁡ | z | a † 2 } Exp ⁡ { − en ⁡ aporrear ⁡ | z | ( a † a + 1 2 ) } Exp ⁡ { − mi − i θ 1 2 bronceado ⁡ | z | a 2 } , = Exp ⁡ { − mi − i θ 1 2 bronceado ⁡ | z | a 2 } Exp ⁡ { + en ⁡ aporrear ⁡ | z | ( a † a + 1 2 ) } Exp ⁡ { mi i θ 1 2 bronceado ⁡ | z | a † 2 } .
Esto es muy rápido si usa una descomposición gaussiana y la representación fiel, pero no unitaria, de la s tu ( 1 , 1 ) álgebra:
a 2 ↦ 2 i σ − , a † 2 ↦ 2 i σ + , ( a † a + 1 2 ) ↦ σ 3 .
Su artículo original tiene los pasos clave sobre la página de los autores eq 3.1. Sin embargo, no puedo ver cómo los autores de su artículo juntaron todas las exponenciales en su ecuación 3.1.

Dado que el OP parece haberse desacoplado y, por lo tanto, no puede solucionar la pregunta engañosa (buscando una prueba de un hecho falso), responderé al desafío / llamada del farol de @Emilio Pisanty: esta es una confusión ritual que surge de lo que por lo demás destaca Nieto et al. paper , probablemente también en este sitio. El artículo de Truax citado en la respuesta del OP es una pista falsa: no aborda la esencia de la mala lectura del OP de la fórmula (3.1) en Nieto et al, y no aclara nada que ya haya sido cubierto de manera agradable y explícita por Nieto et al. en la página 1109. (En el mejor de los casos, Truax es una nota a pie de página en el libro de R Gilmore que detalla y explica la técnica).

El resultado estándar que @mike stone le recuerda en su respuesta, (3.7) puede reformularse a través del magnífico reordenamiento de CBH (3.8) a S(z) =(3.2). (Pero tenga en cuenta el error tipográfico obvio en el componente derecho del usuario de la última matriz de (3.5).)

La nota (3.2) está en orden normal, es decir, correcta y completa sin que se haya sacrificado ningún conmutador en ningún truncamiento de orden normal.

A partir de (3.2), uno puede retroceder hasta lo completamente superfluo (¡sí, me arriesgaré) (3.1), correctamente copiado como

S ( z ) = η S ′ ( z ) = η Exp ⁡ ( 1 2 mi i θ bronceado ⁡ r a † a † − 1 2 mi − i θ bronceado ⁡ r a a + ( sech r − 1 ) a † a − 1 2 en ⁡ ( aporrear ⁡ r ) ) ,
dónde η es el operador de ordenación normal , que trivializa todos y cada uno de los conmutadores en su argumento, por lo que dicta el tratamiento de los operadores que no conmutan como símbolos conmutativos cuando están dentro de su dominio. Es una floritura vacía e inesencial, desconocida para muchos estudiantes que no son QFT, y que agrega poco (¿nada?) a la discusión. Un buen árbitro habría aconsejado a los autores que se saltaran los apartes superfluos como este para mejorar la legibilidad. Esta misma pregunta es prueba de su hipotética sagacidad, si hubiera actuado. Entonces, la pregunta es una distracción/interpretación errónea de una técnica teórica de grupo clásica e importante. (Por ejemplo, lo estoy usando aquí ).

la ecuación (23a) en el artículo "Relaciones de Baker-Campbell-Hausdorff y unitaridad de los operadores de compresión SU(2) y SU(1,1)" (PRD 31, 8) resuelve mi pregunta. En este documento se muestran pruebas detalladas.

Esto es un poco corto para este sitio, y será de utilidad limitada para futuros visitantes con preguntas similares. Incluya aquí un resumen de la resolución de su problema.
@EmilioPisanty Lo siento, no voy a pegar todo el documento aquí, ya que el documento trata básicamente sobre la derivación de mi pregunta. Estoy respondiendo mi propia pregunta porque también podría ser útil para otros. Puedo eliminar la pregunta si no cumple con la regla para este sitio.
@LuZhang Eso no es lo que quise decir, el énfasis está en el resumen. No necesita (y no debe) pegar el documento completo, pero un párrafo que detalle los puntos clave mejoraría enormemente esta respuesta.
¿Son equivalentes estas dos formas diferentes del operador de compresión?
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