¿Son constantes la energía mecánica de un elemento de una cuerda y la densidad de energía en el caso de las ondas mecánicas?

La energía de un elemento de una onda viajera no es constante. Halliday-Resnick-Krane tiene razón. Para una cadena de densidad$\mu$y tensión$T$la energía cinética de un elemento$dx$es

$$dK=\frac 12\mu dx\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2.$$ Para la energía potencial tenemos $$dU=Tdl,$$ dónde $dl$es la cantidad estirada de la cuerda. Una pequeña sección $dh$de la cuerda es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con base $dx$y altura $\frac{\partial \xi}{\partial x}dx$. Por lo tanto, la cantidad estirada es $$dl=\sqrt{dx^2+\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2dx^2}-dx=\frac{dx}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2.$$ En la última ecuación despreciamos los términos de orden superior en $\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)$ya que suponemos pequeños desplazamientos. Después $$dU=\frac{Tdx}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2.$$ Por lo tanto $$dE=dK+dU=\frac 12\mu \left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2dx+\frac{T}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2dx.$$

Para una onda armónica progresiva$\xi(x,t)=A\cos(kx-\omega t)$obtenemos

$$dE=\frac 12\mu\omega^2 A^2\sin^2(kx-\omega t)dx+\frac{1}{2}Tk^2A^2\sin^2(kx-\omega t)dx.$$ Usando $v^2=T/\mu$y $\omega=vk$obtenemos $$dE=\mu\omega^2A^2\sin^2(kx-\omega t)dx,$$ que no es constante.

Recuerda que la onda transmite energía a lo largo de la cuerda. La fuente de energía es el oscilador armónico que genera la onda en un extremo de la cuerda. Entonces no es un problema que la energía en cada punto no sea constante. Otro punto importante: la razón por la que el resultado es bastante diferente de lo que esperamos cuando pensamos en el movimiento armónico simple (que da energía constante a la partícula) es que el elemento de la cuerda no solo se mueve transversalmente. Una onda en una cuerda siempre tiene una componente longitudinal. Esto estaba implícito cuando calculamos la energía potencial y asumimos que la cantidad estirada era la$dl=dh-dx$. Observe que cuando el elemento$dx$tiene desplazamiento$A$, está en reposo y tiene energía cinética nula. Además, este elemento no se estira,$\frac{\partial \xi}{\partial x}=0$, dando energía potencial elástica que se desvanece. Esto concuerda con la ecuación obtenida para$dE$.

La segunda derivación es correcta, como explica la diracología.

Sin embargo, la primera derivación es 'más o menos' correcta, en el sentido de que la ubicación de la energía potencial puede ser ambigua. Por ejemplo, considere los tres sistemas siguientes.

• Una masa sobre un resorte estirado.
• Una masa sentada sobre una mesa.
• Una masa cargada junto a otra carga.

Estos tres sistemas tienen energía potencial elástica, energía potencial gravitatoria y energía potencial eléctrica. Pero en una clase de introducción a la física, obtendrás tres respuestas diferentes si preguntas "dónde" está la energía. En el primer caso, es la primavera; en el segundo, es "el sistema de la Tierra y la masa"; en el tercero, está "en el campo eléctrico entre ellos".

En estos tres casos, siempre que no estemos haciendo GR, no importa dónde digamos que se almacena la energía potencial, porque solo se puede extraer de una manera: moviendo la masa. Podrías decir que la energía potencial se almacena detrás de Júpiter si quieres.

Esta es la razón por la que verá varias convenciones para "dónde" se almacena la energía en una cuerda. Sin embargo, en este caso, hay una respuesta correcta inequívoca, porque una cuerda tiene muchos grados de libertad, a diferencia de una masa. Puede extraer la energía potencial en la cuerda tomando cualquier sección individual de ella y desestirándola, lo que implica que la energía potencial$dU$de un pequeño trozo de cuerda$dx$está bien definido.

Peor aún, para las ondas no sinusoidales, la primera definición da la respuesta incorrecta. imagina una ola$y(x)$que tiene$y = 1$por$0 < x < L$y$y = 0$en otra parte. Según la definición correcta, solo hay energía potencial en$x = 0$y$x = L$. Por la definición incorrecta, la energía potencial total es proporcional a$L$, Cuál está mal.

Un ejemplo aún peor: si solo sostengo la cuerda en$y = 1$para siempre, ¡la definición incorrecta dice que la cantidad de energía potencial es infinita! La respuesta correcta es cero.

Ya hay buenas respuestas aquí, pero me temo que, según mi conocimiento, la expresión de energía potencial de Diracology (y de hecho Halliday-Resnik-Krane) no es correcta . Me gustaría señalar este artículo de Lior M. Burko que se centra en las sutilezas de la derivación de la energía cinética y potencial de la cuerda como un todo y los elementos de masa pequeña de la misma. Del Resumen:

Consideramos la densidad de energía y la transferencia de energía en amplitud pequeña, ondas unidimensionales en una cuerda, y encontramos que las expresiones comunes utilizadas en los libros de texto para el curso de física introductoria con cálculo dan resultados incorrectos para algunos casos, incluidas las ondas estacionarias. Discutimos el origen del problema y cómo se puede corregir de una manera apropiada para el curso introductorio de física basado en el cálculo.

Para extraer el resultado de este trabajo, en lugar de

$$dE=dK+dU=\frac 12\mu \left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2dx+\frac{T}{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^2dx$$

debería leer

$$dE=dK+dU=\frac 12\mu \left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^2dx+\frac{T}{2} \xi \left(\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}\right)dx$$

Según el documento, las dos expresiones dan el mismo resultado para el contenido de energía global de la cuerda, pero las densidades de energía no son las mismas. En la Sección IV se demuestra cómo esto soluciona algunos de los problemas con un elemento que no tiene energía constante, en particular para las ondas estacionarias.