¿Por qué la energía de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud?

En general, no es cierto que la energía de una onda sea siempre proporcional al cuadrado de su amplitud, pero hay buenas razones para esperar que esto sea cierto en la mayoría de los casos, en el límite de pequeñas amplitudes. Esto se sigue simplemente de expandir la energía en una serie de Taylor,$E=a_0+a_1 A+a_2 A^2+\ldots$podemos tomar el$a_0$término sea cero, ya que solo representaría algo de energía potencial ya presente en el medio cuando no hubo excitación de onda. los$a_1$término tiene que desaparecer, porque de lo contrario dominaría la suma para valores suficientemente pequeños de$A$, y luego podrías tener ondas con energía negativa para un signo elegido apropiadamente de$A$. Eso significa que el primer término que no desaparece debe ser$A^2$. Dado que no esperamos que la energía de la onda dependa de la fase, esperamos que solo ocurran los términos pares,$E=a_2A^2+a_4A^4+\ldots$Entonces, solo en el límite de pequeñas amplitudes esperamos$E\propto A^2$.

La otra cuestión a considerar es que teníamos que asumir que$E$era una función suficientemente suave de$A$para permitir que se calcule utilizando una serie de Taylor. Esto no tiene que ser cierto en general. Como un ejemplo fácil que involucra una partícula oscilante, en lugar de una onda, considere una partícula puntual en un campo gravitatorio, rebotando hacia arriba y hacia abajo elásticamente en un piso inflexible. Si definimos la amplitud como la altura del rebote, entonces tenemos$E \propto |A|$. Pero una pelota realista se deforma, por lo que el límite de pequeña amplitud consiste en que la pelota vibre mientras permanece en contacto con el suelo, y recuperamos$E\propto A^2$.

También podría inventar ejemplos donde$a_2$se anula y el primer coeficiente que no se anula es$a_4$.

Es solo una onda sinusoidal. Si la frecuencia es constante, entonces la velocidad en el cruce por cero es proporcional a la amplitud y la energía es proporcional a la velocidad al cuadrado.

Agregado, respondiendo al comentario:

Necesita un modelo más simple, como una masa de 1 dimensión en un resorte (o un péndulo de ángulo pequeño). Su posición x es una onda sinusoidal de cierta frecuencia (puedes hacer los cálculos para obtener la frecuencia). Su máximo x en una dirección es su amplitud a . Su velocidad v es dx/dt , que está desfasada 90 grados con x . En el centro de su oscilación, x = 0 y v = máx. Entonces, claramente, si duplica a , tendrá el doble de distancia para balancearse en el mismo tiempo, por lo que v se duplicará. Estoy seguro de que tienes eso.

Ahora tu pregunta es, ¿por qué la energía$E$igual$mv^2/2$, es decir, proporcional a$v^2$? Bueno, esa es una ecuación básica, pero déjame ver si puedo responderla de todos modos.

Si se deja caer un peso w desde una altura h , tiene energía potencial inicial wh , que se transforma en energía cinética cuando llega al suelo a una velocidad v . Si cae bajo la fuerza constante de la gravedad, la distancia que cae en un tiempo dado t es$gt^2/2$(integral de tiempo de la velocidad), y la velocidad después de ese tiempo es$v = gt$. Entonces, si quieres duplicar la velocidad que tiene en el piso, debes duplicar$t$, ¿Correcto? Y si duplicas$t$, vas a cuadruplicar la altura. Eso cuadruplica la energía. Espero que eso responda la pregunta.

Sólo pensé en otra explicación. Si tienes un resorte cuya fuerza$f$es$kx$dónde$x$es el desplazamiento del extremo del resorte, y$k$es su rigidez. Como la energía (trabajo) es la integral de$fdx$, la energía$E$almacenada en el resorte, en función de$x$es$kx^2/2$. Así que ahí está tu relación energía-amplitud.

Tienes razón, la ecuación es generalizable a dimensiones superiores. La ecuación que diste es simplemente la suma de las diversas formas de energía. en la ecuacion

El primer término del lado derecho es la energía cinética y el segundo término es la energía potencial elástica. Como dijo Mike, la energía cinética es simplemente$p^2 / 2m$. La energía potencial elástica en cualquier lugar de la cuerda se obtiene sumando toda la fuerza necesaria para llevar esa pieza allí (dada por la ley de Hooke ); eso es

Entonces, la energía total es solo la suma de las energías cinética y potencial con la modificación apropiada usando la densidad de masa multiplicada por una longitud infinitesimal como la masa.

Cuando te mueves a dimensiones superiores, tienes que dar cuenta de eso en las energías cinética y potencial. La energía cinética de una parte de la superficie es el cuadrado de la cantidad de movimiento de esa parte ($mv$) dividido por la masa de esa porción. La energía potencial es la constante elástica de la membrana dividida por 2, multiplicada por el cuadrado del desplazamiento desde cero.

La cantidad de energía en una onda está relacionada con su amplitud. Los terremotos de gran amplitud producen grandes desplazamientos del suelo. Los sonidos fuertes tienen amplitudes de presión más altas y provienen de fuentes de vibraciones de mayor amplitud que los sonidos suaves. Los grandes rompeolas agitan la costa más que los pequeños. Más cuantitativamente, una onda es un desplazamiento que es resistido por una fuerza restauradora. Cuanto mayor sea el desplazamiento$x$, mayor es la fuerza$F = kx$necesario para crearlo. porque el trabajo$W$está relacionado con la fuerza multiplicada por la distancia ($Fx$) y la energía se pone en la onda por el trabajo realizado para crearla, la energía en una onda está relacionada con la amplitud. De hecho, la energía de una onda es directamente proporcional a su amplitud al cuadrado porque$W\propto Fx = kx^2$.

Encontré este extracto extremadamente útil.