Interpretación física del término de cambio de difusión en las ecuaciones de Navier Stokes

No es que el movimiento aleatorio disminuya cuando aumenta el caudal. Es solo que el movimiento aleatorio permanece igual pero domina el movimiento coherente. Si la velocidad de difusión en un gas es 1 y la velocidad de convección del flujo es 1000 (las unidades no importan), entonces la acción de difusión puede ignorarse con bastante seguridad.

Lo importante a recordar es que existen límites en los que se pueden aplicar las aproximaciones. Con un número de Reynolds alto, se pueden usar las ecuaciones de Euler ignorando la viscosidad fuera de la región delgada alrededor de los cuerpos donde, sin importar qué tan grande sea la velocidad convectiva, siempre habrá efectos viscosos allí.

Casi das la respuesta en tu pregunta:

Con velocidades de flujo crecientes, las fuerzas de inercia se vuelven mayores que las fuerzas viscosas.

Podemos decirlo con mayor precisión: las fuerzas de inercia escalan cuadráticamente con la velocidad del flujo$U$:$\rho \mathbf u\nabla \mathbf u\sim \rho U^2/L$, mientras que las fuerzas viscosas escalan linealmente:$\mu \nabla^2\mathbf u \sim \mu U/L^2$. Aquí$\rho$es la densidad del fluido,$\mu$viscosidad dinámica y$L$es una escala de longitud característica.

La relación entre los dos es el número de Reynolds.$\mathrm{Re} = \rho UL/\mu$. Por lo tanto, cuando$\mathrm{Re}$es grande, el término viscoso puede tratarse como pequeño.

Ahora, no puedo votar negativamente, pero me gustaría enmendar un concepto erróneo presente en la pregunta y las dos respuestas existentes.

El término viscoso$\mu \nabla^2\mathbf u$no debe interpretarse como "flujo difusivo", ni como difusión molecular (como lo describe el número de Péclet). En cambio, describe los efectos de la fricción interna en el fluido. La fricción surge cuando las parcelas de fluido vecinas tienen diferentes velocidades. El efecto de la fricción es igualar las velocidades, reduciendo así los gradientes de velocidad del flujo. De hecho, la forma misma del término viscoso proviene de la suposición de un fluido newtoniano: la fuerza de fricción es proporcional al gradiente de velocidad del flujo local.$^1$, y la constante de proporcionalidad es la viscosidad dinámica$\mu$.

Es una práctica común llamar al término viscoso "difusión", presumiblemente debido a la segunda derivada. La cantidad que "difunde" en Navier-Stokes es la velocidad del fluido , en el sentido de que las altas velocidades del fluido se difunden hacia las regiones de menor velocidad del fluido, en la dirección del gradiente negativo. Pero en contraste con la difusión molecular, no hay aleatoriedad involucrada en el término viscoso.$^2$. La irreversibilidad es el resultado de la disipación por fricción.

Reutilizaré un párrafo importante de la respuesta de tpg2114:

Lo importante a recordar es que existen límites en los que se pueden aplicar las aproximaciones. Con un número de Reynolds alto, se pueden usar las ecuaciones de Euler ignorando la viscosidad fuera de la región delgada alrededor de los cuerpos donde, sin importar qué tan grande sea la velocidad convectiva, siempre habrá efectos viscosos allí.

Ahora entendemos por qué sucede esto: el término viscoso en realidad escala con los gradientes de velocidad del fluido , mientras que el término convectivo escala con la velocidad del fluido en sí. Por lo tanto, cerca de un límite estacionario donde la velocidad es cero, se deduce que la velocidad es pequeña y los gradientes son grandes, de ahí el valor de$\mathrm{Re}$es localmente pequeño y hay una capa límite.

Finalmente, me gustaría comentar, también con respecto a la respuesta de tpg2114, que las unidades sí importan. Lo importante para que se mantenga la aproximación no viscosa es que el número de Reynolds adimensional es grande. Incluso si entre amigos podemos decir "para grandes velocidades...", debemos entender que queremos decir "para grandes valores del número de Reynolds" en este caso. Es similar a la mecánica cuántica donde podemos decir "porque$\hbar$es tan pequeño..", pero de hecho solemos emplear unidades donde$\hbar=1$.

$^1$La forma particular de un fluido newtoniano surge del enunciado de que la tensión$\tau_{ij}$(fuerza por área debido a la presión y la fricción) viene dada por$\tau_{ij} = -p\delta_{ij} + \mu (\partial_ju_i+\partial_iu_j)$. Las ecuaciones de Navier-Stokes son, de hecho, ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento que establecen que la divergencia del tensor de tensión es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento en el tiempo:

$^2$Sin embargo, debe decirse que la fricción (viscosidad) es, por supuesto, una consecuencia de colisiones aleatorias en el nivel molecular de modelado. La viscosidad a menudo tiene una fuerte dependencia de la temperatura, por ejemplo. Pero en el nivel continuo, esta aleatoriedad se promedia en cantidades macroscópicas y se modela mediante ecuaciones constitutivas como el fluido newtoniano anterior.

Es útil pensar en este problema en términos de escalas de tiempo.

Mira la ecuación de Navier Stokes en 1D:

$\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Considerando escalas de tiempo en el orden de difusión para un dominio de longitud,$L$, la escala de tiempo de difusión es,$\tau_d \sim L^2/\nu$. Por otro lado, la escala de tiempo convectiva, donde$U$es una velocidad típica en el flujo, es$\tau_c \sim L/U$. En otras palabras, las escalas de tiempo de cada proceso son dispares en aproximadamente$Pe = \tau_d/\tau_c \approx UL/\nu$veces. Esta última cantidad se conoce como el número de Peclet,$Pe$, que compara el tamaño relativo de cada escala de tiempo. Cuando$\tau_c << \tau_d$o$Pe >> 1$entonces el transporte está dominado por la advección/convección. Si$Pe << 1$domina la difusión.

Puede introducir diferentes valores y comprobar por sí mismo que sólo si$Pe$está cerca de 1 son las escalas de tiempo difusiva y convectiva en el mismo orden. En flujos típicos donde la escala de tiempo de la difusión es mucho mayor que la escala de tiempo de la convección, las ecuaciones de Euler se pueden emplear con una buena aproximación.