Postulado Implícito de la Mecánica Cuántica

Considere el siguiente sistema cuántico: una partícula en una caja unidimensional (= pozo de potencial infinito). Todas las funciones de onda de estados propios de energía desaparecen fuera de la caja. Pero las funciones de onda de estados propios de posición no desaparecen todas fuera de la caja. Cada uno de ellos es una función delta en una ubicación específica, y algunas de estas ubicaciones están fuera de la caja. Entonces parece que no hay superposición entre ciertos estados propios de posición y todos los estados propios de energía. ¡Así que los estados propios de energía no abarcan todo el espacio de Hilbert! ¡Y estos estados de posición tienen probabilidad cero para cualquier resultado de energía en una medición!

Ahora, sé que cuando se habla de un pozo de potencial infinito, se supone que la partícula no puede estar fuera del pozo. Pero no veo ninguna razón para suponer esto a partir de los postulados de la mecánica cuántica. ¿Hay postulados adicionales implícitos que digan: "El espacio de Hilbert del sistema está atravesado por los estados propios del operador hamiltoniano (y no por otros operadores, como la posición)"? ¿O el potencial infinito es simplemente un sistema mal definido porque contiene infinitos (como una partícula libre...)?

Además del problema del truncamiento en un cuadro, es esencialmente un duplicado de esta publicación de Phys.SE en el sentido de que los estados propios de posición no son parte del espacio de Hilbert.
@Qmechanic, no veo por qué es un duplicado. ¿Puedes explicar por favor?
@Qmechanic Creo que Lior tiene razón. 'Aparte del tema central de la pregunta...'. ;).
PD: sé que mi pregunta puede parecer tonta o no vale la pena discutirla, porque es obvio lo que debe hacer un físico en activo cuando se encuentra con una partícula en una caja, pero para mí, el hecho de que necesito hacer algo que no se deriva de postulados sino más bien basados ​​en el "sentido común" o la "intuición" significa que este modelo de la realidad (= teoría física) es incompleto.

Respuestas (3)

El problema es que estás asumiendo que los postulados de la mecánica cuántica asignan automáticamente a los sistemas una representación de posición completa... mientras que algunos sistemas (como una partícula con espín) no tienen tal representación.

La solución, entonces, es mirar detenidamente los postulados de la mecánica cuántica. Hay un montón de abstractos: los estados son rayos en el espacio de Hilbert, los observables son operadores hermitianos, la existencia de un hamiltoniano, la evolución unitaria normal debajo de él, las probabilidades son valores esperados, lo que sucede con las mediciones, etc., pero ninguno de ellos dice usted qué espacio de Hilbert usar para qué sistema físico, o qué operadores hermitianos usar para sus observables físicos particulares.

Para eso, primero necesitas mucha intuición física, y sigues una receta general que va más o menos como

Si el sistema tiene una representación clásica que incluye una estructura simpléctica canónica con coordenadas de posición y momento definidas en toda la línea real, y un corchete de Poisson que satisface { X , pag } = 1 , luego asigne un factor de tensor espacial de Hilbert de L 2 ( R ) a cada dimensión del espacio con la posición como el X operador y cantidad de movimiento como tal y como tal derivada.

y que se conoce como cuantización canónica .

Tenga en cuenta una advertencia importante en esta receta: requiere que la posición se defina en un intervalo ilimitado. Por el teorema de representación de von Neumann , postulando las relaciones canónicas de conmutación [ X , pag ] = i ℏ automáticamente requiere que el espectro de ambos sea ( − ∞ , ∞ ) .

Este es un punto muy complicado, e incluso Dirac tropezó con él: propuso una teoría cuántica para la fase de un oscilador armónico (La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación. PAM Dirac. Proc. R. Soc. Lond . A 114, n.° 767, págs . (Una buena fuente de por qué es probablemente R. Lynch, Phys. Rep. 256 , 367 (1995) , pero Elsevier parece estar abajo en este momento).

La conclusión de esto es que debe observar su sistema clásico antes de decidir cómo lo cuantificará. Para una partícula en un pozo infinito, ¿el sistema clásico incluye las posiciones fuera del pozo? Si es así, ¿cuál es el potencial allí? Debe ser "muy grande", porque "infinito" no es un valor válido de un operador (es decir, V ^ | X ⟩ = ∞ | X ⟩ ∉ H )... y luego estás de vuelta en un pozo finito.

Si su sistema clásico no incluye posiciones fuera de ese cuadro, entonces debe tener cuidado con lo que quiere que sea su sistema cuántico. Definitivamente no puede pedirle a su sistema cuántico que haga más que el clásico, por lo que los estados de posición fuera de la caja no deberían formar parte de su espacio de Hilbert. De un solo golpe, esto soluciona su problema: los estados propios de energía abarcarán todo el espacio de Hilbert.

Aún debe decidir qué operadores necesita usar para el impulso y la energía, y la intuición física generalmente funciona bien allí. Sin embargo, si desea saber exactamente por qué hacemos las cosas como las hacemos, entonces debería consultar el sistema clásico para obtener orientación sobre cómo cuantificar. Da la casualidad de que el sistema clásico no está completamente libre de problemas, ¡y cualquier problema que tenga al cuantificar podría haberlo notado al observar el sistema clásico! Para una visión interesante de esto, recomiendo el artículo

Síntomas clásicos de las enfermedades cuánticas. Chengjun Zhu y John R. Klauder. Soy. J. física. 61 núm. 7, pág. 605 (1993) .

Esto incluye una discusión, al final de la sección III, precisamente de este problema.

Para una partícula clásica en una caja, con paredes finitas pero muy altas, no existe restricción alguna para que la partícula esté fuera de la caja. Los estados fuera de la caja tienen los mismos derechos que los dentro de la caja. Por supuesto, una transición entre ellos requiere mucha energía, como nos dicen las ecuaciones clásicas de movimiento. Pero estos estados de ninguna manera desaparecen en el proceso limitante de llevar el potencial al infinito. Entonces, según su razonamiento, cuando cuantizo el sistema, debo dejar estos estados.
@Lior Si mantiene esos estados después del proceso de limitación, también rompe la mecánica clásica. Tienes un hamiltoniano indefinido o infinito en grandes partes del espacio de fase. Si desea que su qm sea sólido, necesita trabajar con mecánica clásica, y eso significa deshacerse de esos estados.
No estoy de acuerdo. Para cualquier valor finito del potencial, aunque sea enorme, la partícula clásica puede estar fuera de la caja. Por lo tanto, cuando tomas el límite, todavía puede estar allí. (también, siempre puede cambiar todos los potenciales en el sistema por una constante). De todos modos, lo que entiendo de su explicación es que no debo buscar un postulado faltante sino algún principio en la cuantificación del sistema clásico.
@Lior Sí, su último comentario es correcto: debe complementar los postulados con un procedimiento de cuantización (o al menos un procedimiento para encontrar el espacio y los operadores correctos). Sin embargo, se equivoca al pensar que si se permite algún comportamiento a energías finitas, persistirá en el límite. ¡Intenta construir una mecánica así! ¿Cómo se ven las ecuaciones de Hamilton allí?
Defina una función e(V) en la que V sea el valor del potencial, y en la que e(V) sea igual a 1 siempre que la partícula clásica esté en voz alta para existir fuera de la caja, y sea igual a 0 en caso contrario. Para cualquier valor de V, e(V)=1, por lo tanto, e(V) es la función constante 1. Por cálculo elemental, lim e(V) = 1, donde el límite se toma en V hasta el infinito.
@Lior, desafortunadamente, no es tan simple, y no tiene garantía de que e (V) sea continuo en el infinito. (Intente, por ejemplo, F ( X ) = 1 si X es finito y 0 si es infinito). Si pudieras construir una mecánica hamiltoniana significativa en esa región (¡inténtalo!), entonces podrías hablar sobre cuantificarla.
@Lior: con un potencial infinito, el hamiltoniano no está definido en todo el espacio de Hilbert (¡como operador! - Puede escribirlo, pero <s|H|s> no está definido para muchos vectores/estados en el espacio completo de Hilbert que estaba bien para el sistema con potencial finito). El punto es: el proceso de límite no tiene un significado físico: es solo una forma de hacer conjeturas informadas para la descripción adecuada de algunos sistemas.
Suponga que tiene una partícula cuántica libre y luego, en el momento t, enciende un potencial que es un pozo infinito. No asumo que la partícula esté dentro del pozo antes del tiempo t; puede o no, o puede estar en una superposición de estados. ¿Cuál es el espacio de Hilbert de este sistema? ¿Incluye estados propios de posición fuera del pozo? Alternativamente, puede suponer que dentro de un lapso de tiempo finito T enciende continuamente el potencial de cero a infinito.
Si dentro de un tiempo finito T enciende continuamente un potencial que diverge hasta el infinito, entonces la ecuación de Schrödinger dejará de tener soluciones. Pero, de nuevo, esto también está presente en la mecánica clásica, ya que el sistema clásico correspondiente tampoco tiene soluciones globales para todas las condiciones iniciales.
Probablemente la mejor forma de decirlo: no hay V(x) siendo V infinito fuera de la caja. Simplemente no puede escribirlo en términos de análisis estándar. Así que el proceso de limitación no tiene sentido. La expresión "pozo de potencial infinito" o algo así tampoco tiene significado dentro del formalismo matemático. Es solo una forma informal de hablar sobre una interpretación física de la situación que queremos describir. El proceso límite tampoco tiene sentido: en el límite los operadores no convergen. Y eso es todo: no hay más preguntas que hacer.
(Espero que no me pierdan la paciencia...) Entonces, si el pozo infinito no es el resultado de un proceso limitante (es decir, no puedo decir que modela la situación de un pozo potencial con el valor de 10000^10000 eV), ¿qué podría modelar? ¿Y por qué requerimos que la función de onda sea cero en el borde de la caja, si no tiene sentido decir que el potencial es infinito allí? Recuerde que así es como determinamos el espectro discreto del sistema...
@Lior: ¿Alguna vez has visto un pozo de potencial infinito? Se trata simplemente de crear un universo modelo completamente imaginario (donde las cosas solo existen en una caja) con la esperanza (justificada) de que el comportamiento descrito/calculado esté relacionado de alguna manera con un grupo de sistemas más realistas que le interesen (por ejemplo, pozos de potencial profundo) . Esta esperanza proviene principalmente de la interpretación física (informal) del modelo matemático. Estoy casi seguro de que uno podría completar el modelo matemático existente (p. ej.) mediante un análisis no estándar para describir el proceso de limitación, pero no conozco a nadie que haya hecho eso).
Me voy de aquí ahora: se vuelve repetitivo. Pero gracias por la interesante pregunta. Me hizo pensar un poco sobre el proceso de creación de modelos físicos :-).

Según tengo entendido, en varios problemas de mecánica cuántica, el paso final es restringir el espacio de Hilbert a estados físicamente permisibles. En este problema, tal restricción requiere que el estado se apoye exclusivamente en el intervalo espacial en el que el potencial es finito. Esto implicaría que la resolución de su paradoja es que los estados propios de posición fuera de este intervalo no están en el espacio de Hilbert.

Este no es el único ejemplo de tal restricción. En el oscilador armónico existe una restricción similar, limitamos nuestro espacio de Hilbert a estados que eventualmente pueden ser aniquilados en el vacío, y rechazamos aquellos que pueden reducirse arbitrariamente. De manera similar, al cuantificar el campo vectorial, encontramos que los grados de libertad no físicos permiten estados de norma cero, para recuperar la fisicalidad, y una teoría que obedece a las condiciones de calibre apropiadas, las rechazamos.

Este comentario es más una pregunta (una pregunta seria). ¿Por qué estás usando la mecánica cuántica? presumiblemente la última teoría de la realidad física (al menos a pequeña escala), para discutir un "problema", que se trata de algo bastante ficticio; es decir, una "caja unidimensional, o pozo de potencial infinito". ¿Qué propósito tiene discutir algo que nunca se observó o que se sabe que ni siquiera existe? Como dije, es una pregunta seria.
Intentaré responder, aunque si no está satisfecho, puede ser útil discutir más a fondo. Si una teoría contiene una inconsistencia lógica, entonces no es válida y definitivamente no es una teoría para todo. Si bien es cierto que la prueba está en el pudín y el valor último de una teoría está en su poder predictivo, debemos prestar atención a los problemas a medida que surjan, ya que resolverlos puede ayudar a guiar los desarrollos y puede evitar que persigamos el ganso salvaje. En cuanto a la fisicalidad del problema, no creo que sea una terrible aproximación a ciertos sistemas físicos, aunque estos son, por supuesto, finitos.

Esto es solo una cuestión de elegir una base para el espacio vectorial (Hilbert): el conjunto de estados propios de posición es una base, el conjunto de estados propios de energía es otro. Se pueden expresar en términos de cada uno (los vectores/estados de la base B1 se pueden expresar como una suma de vectores de la base B2).

Todo en la teoría de los espacios vectoriales...

OP dijo: "Pero el punto de mi pregunta es que para la partícula en la caja, un cierto estado propio de posición (cualquiera que tenga como función de onda un delta de Dirac fuera de la caja) no se puede expresar en términos de estados propios de energía "

Ah, tienes razón, ahora entiendo tu pregunta. Creo que el punto es que el pozo es infinito. Para un pozo de potencial finito, siempre tiene estados de energía más altos "no vinculados" que se pueden usar para resumir los vectores propios fuera de la caja. En el caso del pozo infinito, esos estados tienen una energía infinita (su energía se vuelve infinita si dejas que el pozo de energía se mueva hacia el infinito). De esta manera, "desaparecen" del modelo. Pero: si acepta lo mismo para los estados propios de posición (simplemente goteando eso fuera de la caja), todo está bien nuevamente: tiene un "universo" dentro de una caja (un universo donde el Koordinate está limitado por diseño a algún intervalo) y nuevamente todas las posiciones Los estados propios se pueden utilizar para construir estados propios de energía y viceversa.

Pero el punto de mi pregunta es que para la partícula en la caja, un cierto estado propio de posición (cualquiera que tenga como función de onda un delta de Dirac fuera de la caja) no puede expresarse en términos de estados propios de energía.
@Lior: puse mi respuesta en mi respuesta. Que tengas que desechar una parte de los estados propios de la posición es en mi humilde opinión debido al hecho de que [H,x] ya no sería correcto.
¿Y por qué los votos negativos?
Veo como este proceso limitante de llevar el potencial al infinito hace que las funciones de onda de energía desaparezcan fuera del pozo, pero no veo como los postulados o el proceso limitante deben hacerme abandonar las funciones de onda de posición fuera del pozo.
@Lior: solo para obtener la situación "normal": un espacio de Hilbert donde los vectores propios x y los vectores propios E abarcan todo el espacio. Lo admito, parece bastante ad hoc, tirar una parte del espacio estatal. Si no lo hacemos, entonces tienes razón, que los autoverctores hamiltonianos se vuelven especiales. Entonces la situación es que hay un espacio de Hilbert, pero solo un subespacio corresponde a los estados físicos y este subespacio está atravesado por los vectores propios de energía. Quizás esto también sea bueno: aceptar que el hamiltoniano es realmente especial en QM (y también en cualquier teoría dinámica).
Otras formas de ver esto: (1) Los axiomas no dicen que puedes obtener tu espacio de Hilbert del caso finito por alguna transición continua. Afirman que existe un espacio de Hilbert que describe el estado del sistema físico. En este caso es el espacio de todas las funciones que son cero fuera de la caja.
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