Demostración del teorema de Ehrenfest

Question

Demostración del teorema de Ehrenfest

miguel b

Estoy usando este recurso junto con Introducción a la mecánica cuántica de Griffith para intentar reproducir el teorema de Ehrenfest .

De la ecuación $(176)$ en el enlace de arriba tenemos:

\frac{d ⟨ pag ⟩}{d t} = \int_{- \infty}^{\infty} [\frac{- ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial}{\partial X} (\frac{\partial Ψ^{*}}{\partial X} \frac{\partial Ψ}{\partial X}) + V (X) \frac{\partial | Ψ^{2} |}{\partial X}] d X

$\frac{d\langle p\rangle}{dt}=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) +V(x)\frac{\partial|\Psi^2|}{\partial x} \right] dx$

Puedo llegar aquí sin problemas, pero a continuación tenemos que demostrar que:

\int_{- \infty}^{\infty} [\frac{- ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial}{\partial X} (\frac{\partial Ψ^{*}}{\partial X} \frac{\partial Ψ}{\partial X})] d X = 0

$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right) \right] dx = 0$

Lo cual solo sería cierto si:

{\frac{\partial Ψ}{\partial X} |}_{X = - \infty}^{X = \infty} = {\frac{\partial Ψ^{*}}{\partial X} |}_{X = - \infty}^{X = \infty} = 0

$\left. \frac{\partial \Psi}{\partial x} \right|^{x=\infty}_{x=-\infty} = \left. \frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \right|^{x=\infty}_{x=-\infty} = 0$

¿Hay alguna manera de saber esto en general? Obviamente es cierto en ciertos casos de la función de onda (por ejemplo, $\Psi(x)=\exp[-x^2]$ ). En general, pensé que la única condición para la normalización era que:

{Ψ |}_{X = - \infty}^{X = \infty} = {Ψ^{*} |}_{X = - \infty}^{X = \infty} = 0

$\left. \Psi \right|^{x=\infty}_{x=-\infty} = \left. \Psi^* \right|^{x=\infty}_{x=-\infty} = 0$

Respuestas (2)

Demostración del teorema de Ehrenfest

fantasmas en las figuras · Answer 1

fantasmas en las figuras

Hecho de la diversión; no es cierto en general! Por ejemplo, esta respuesta enumera un ejemplo de una función que es totalmente integrable al cuadrado y, por lo tanto, viable como función de onda, pero cuyas derivadas no tienen un límite bien definido en el infinito.

La verdadera razón por la que puede salirse con la suya al hacer esta aproximación es que asumimos implícitamente en la mecánica cuántica, quizás sin suficiente contundencia, que las funciones de onda tienen un "soporte compacto", es decir, las funciones y sus derivadas solo son distintas de cero en un cerrado, subconjunto acotado del espacio.

Algunos ejemplos de funciones de onda de juguete evitan este requisito, como la partícula cuántica libre con momento exacto , pero esta no es una verdadera función de onda ya que no es integrable al cuadrado.

Andrés

Creo que el ejemplo al que te vinculas es una función suave cuya derivada no desaparece asintóticamente. (Eliminé una respuesta que escribí que afirmaba que la suavidad era suficiente para garantizar que la derivada fuera a cero; no sé si es por eso que agregó la advertencia sobre la suavidad o no, pero creo que me equivoqué según ese ejemplo) . Parece que la desaparición de las derivadas en el infinito es una suposición adicional que se necesita.

miguel b

Gracias por el enlace. Busqué pero no encontré nada, pero como de costumbre, esta pregunta exacta se había explorado antes en Phys SE.

nanohombre

Estoy de acuerdo con @Andrew: el ejemplo no admite esta respuesta porque la función de onda allí es diferenciable para todos los pedidos.

miguel b

Es diferenciable (por lo que es suave) pero la derivada no se anula en el infinito. Creo que la verdadera respuesta es que no nos importa que nada de la física suceda a una distancia significativa de la medición. A menos que sea una celosía... Pero eso está un poco más allá de mí en este momento.

fantasmas en las figuras

@nanoman Veo tu punto y haré la edición apropiada. Supongo que la restricción adecuada es el soporte compacto en todas las derivadas de la función de onda, aunque me pregunto si se puede hacer más general que eso.

Janik

Una técnica común en el análisis es probar una cierta identidad primero para funciones "agradables" (como

C_{c} (R^{n})

$C_c(\mathbb{R}^n)$ , es decir, funciones de soporte suaves y compactas), y luego extender la identidad a un espacio más grande mediante un argumento de aproximación. Aquí no es razonable esperar que el teorema de Ehrenfest se cumpla para todos

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb{R}^n)$ -funciones porque el operador de cantidad de movimiento no está definido en todas las funciones integrables al cuadrado. Pero el resultado debería ser extensible al espacio de Sobolev.

H^{1} (R^{n})

$H^1(\mathbb{R}^n)$ que es el dominio que hace que el operador de cantidad de movimiento sea autoadjunto.

nanohombre · Answer 2

La respuesta de otra pregunta señala que el valor esperado de la energía cinética es proporcional a

\int_{- \infty}^{\infty} d X ψ^{*} (- \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}}) = \int_{- \infty}^{\infty} d X {| \frac{\partial ψ}{\partial X} |}^{2} - {ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial X} |}_{- \infty}^{\infty} .

$\int_{-\infty}^\infty dx\, \psi^* \left(-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\right) = \int_{-\infty}^\infty dx\, \left|\frac{\partial\psi}{\partial x}\right|^2 - \left.\psi^* \frac{\partial\psi}{\partial x}\right|_{-\infty}^\infty.$ En la derivación de Ehrenfest, ya ha estado dispuesto a establecer términos límite que incluyen un factor de

ψ

$\psi$ o

ψ^{*}

$\psi^*$ (sin derivadas) a cero. Entonces lo anterior se reduce a

\int_{- \infty}^{\infty} d x (\partial ψ^{*} / \partial x) (\partial ψ / \partial x)

$\int_{-\infty}^\infty dx\, (\partial\psi^*/\partial x)(\partial\psi/\partial x)$ . Ahora, en términos físicos, este valor esperado de energía cinética debería ser finito . Por lo tanto, el integrando tiende a cero como

x \to \pm \infty

$x \to \pm\infty$ , lo que es suficiente para mostrar la desaparición del término límite por el que preguntó.

Si el integrando fuera distinto de cero en el infinito, esto significaría que la expectativa de energía cinética no sería finita. ¿Es eso correcto? En realidad, esta es una muy buena manera de insertar ese paso en el teorema de Ehrenfest. Parece bastante general también. Así que tengo curiosidad por saber qué sistemas físicos encajarían en algunos de los contraejemplos que se muestran arriba. Tal vez son solo inventos matemáticos.

Demostración del teorema de Ehrenfest

miguel b

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Andrés

miguel b

nanohombre

miguel b

fantasmas en las figuras

Janik

nanohombre

miguel b

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