Espacio de Hilbert y hamiltonianos

Question

Espacio de Hilbert y hamiltonianos

Sofía

Suponga un sistema descrito por un hamiltoniano H y suponga que los estados propios de H, $φ_i$ ( r ) son integrables en el cuadrado absoluto. Decimos que estos estados pertenecen a un espacio de Hilbert (incluso pueden formar una base en ese espacio).

Pero, ¿es cierto lo contrario? Sea un sistema descrito por una función de onda S ( r , t ), integrable en el cuadrado absoluto. ¿Eso implica que el comportamiento del sistema también está descrito por un hamiltoniano?

Observación : la evolución de un sistema no siempre admite un hamiltoniano. Por ejemplo, si la evolución no es unitaria (o al menos, si hay un hamiltoniano, tomaría valores propios complejos). Para ser claro, no sé si mi sistema evoluciona unitariamente o no. Acabo de dar el ejemplo para mostrar que la existencia de un hamiltoniano no está garantizada. Todo lo que sé de la función S ( r , t ) es que pertenece a un espacio de Hilbert.

Entonces, la pregunta es, la itegabilidad absoluta del cuadrado asegura (como condición suficiente) la existencia de un hamiltoniano para el sistema.

Un ejemplo : desarrollo S ( r , t ) en una superposición cuántica de las funciones propias $φ_i$ (r),

S ( r , t ) = $∑_i$ $C_i$ ( t ) $φ_i$ ( r ), con $C_i$ ( t ) = $F_i$ ( t ) exp(-i $E_i$ t /ħ).

Introduciendo esta superposición en la ecuación de Schrödinger con el hamiltoniano H, obtengo que iħ ∂ S ( r , t )/∂ t no es igual a H S ( r , t ). Pero, ¿podría ser que otro hamiltoniano H' pueda existir en la ecuación de Schrödinger? ¿estar satisfecho?

qmecanico

Comentario a la pregunta (v3): dada una base ortonormal arbitraria para el espacio de Hilbert, es posible encontrar una cantidad infinita de operadores autoadjuntos

H

$H$ que son diagonales en esa base.

una mente curiosa

Si la evolución no es unitaria, no estás describiendo el sistema completo, ¡sino un subsistema abierto! La unitaridad es uno de los pocos principios que ninguna teoría cuántica adecuada rompe al considerar sistemas cerrados.

Sofía

@Qmechanic: Sí, parece simple. Pero algo no funciona. La función de onda discutida, permítanme llamarla S (r, t), es complicada. Aunque los abdominales. integrable al cuadrado, no es una superposición cuántica ordinaria de los vectores base (

φ_{i}

$φ_i$ (r) ) del espacio de Hilbert. Lo que tengo es S(r, t) =

\sum_{i}

$∑_i$

C_{i}

$C_i$ (t)

φ_{i}

$φ_i$ (R). y la dependencia del tiempo de

C_{i}

$C_i$ (t) no es la dependencia ordinaria exp(-i

E_{i}

$E_i$ t/ħ), donde

E_{i}

$E_i$ son las energías de

φ_{i}

$φ_i$ (R), pero

C_{i}

$C_i$ (t) = exp[-i(

E_{i}

$E_i$ + Q)t/ħ], es decir, más complicado.

Sofía

(continuación) Por cierto, es una función legítima en el espacio de Hilbert. Pero introduciendo esta superposición en la ecuación de Schrödinger, la dependencia temporal anterior genera problemas: lo que obtengo en el LHS (es decir, donde derivo por tiempo) no es igual a lo que obtengo en el RHS. Y repito, es una función legítima en el espacio de Hilbert.

nefente

@Sofia ¿Dónde están los

E_{i}

$E_i$ ¿viene de? Algún hamiltoniano, supongo. La apariencia de

Q

$Q$ simplemente cambia todo el espectro por una constante. Eso no tiene ninguna consecuencia física. La norma del estado

S

$S$ se conserva durante la evolución temporal, por lo que la dinámica es unitaria.

Sofía

@nephente: la evolución en el tiempo de un estado propio

φ_{i}

$φ_i$ (r) del hamiltoniano, es de la forma

φ_{i}

$φ_i$ (r) exp(-i

E_{i}

$E_i$ t/ħ), donde

E_{i}

$E_i$ es la energía del objeto cuántico en el estado

φ_{i}

$φ_i$ (R). Pero tal vez te equivocaste y querías preguntar de dónde viene la cantidad Q en los exponentes de

C_{i}

$C_i$ (t). Obtengo esta Q al desarrollar S(r, t) en una superposición de las funciones

φ_{i}

$φ_i$ (R). Me encantaría saber cuál es la interpretación física de Q, pero en este momento no puedo decirlo. Entonces, lo que sé es que la función S(r, t) es abs. Cuadrado integrable, y listo.

yuggib

Matemáticamente hablando, la respuesta es obviamente no . Su pregunta en términos matemáticos: existe un mapa de "evolución"

E : R \to L^{2} (R^{d})

$E:\mathbb{R}\to L^2(\mathbb{R}^d)$ (que a cada vez se le asocia una función integrable al cuadrado). ¿Puedo entonces concluir que existe un grupo fuertemente continuo de operadores unitarios lineales?

U : R \times L^{2} (R^{d}) \to L^{2} (R^{d})

$U:\mathbb{R}\times L^2(\mathbb{R}^d)\to L^2(\mathbb{R}^d)$ tal que

E (t) = U (t) ψ

$E(t)=U(t)\psi$ para algunos

ψ \in L^{2} (R^{d})

$\psi\in L^2(\mathbb{R}^d)$ ? Suponer que

E

$E$ no es continuo . Entonces

E

$E$ no puede ser generado por ningún

U (t)

$U(t)$ , ya que estos últimos son fuertemente continuos por hipótesis.

yuggib

Incluso relajando la condición en

U

$U$ ser un

C^{0}

$C^0$ -semigrupo (que puede permitir, en términos generales, generadores no autoadjuntos), nuevamente no podría realizar ningún no continuo

E

$E$ . Por último, estoy bastante seguro de que exigir que

E

$E$ es una función continua o incluso diferenciable no sería suficiente para garantizar que, en general, se realiza mediante una familia de operadores lineales que actúan sobre

L^{2}

$L^2$ (y mucho menos un grupo unitario o

C^{0}

$C^0$ -semigrupo).

Sofía

@yuggib, lo lamento, pero aprendí la teoría de grupos DEMASIADO años atrás. Y no tengo tiempo para refrescar mis conocimientos ahora, y tampoco en un futuro próximo. ¿Puede, por el momento, formular su comentario, sin grupos? me alegraria mucho Con gracias de antemano.

yuggib

Lo que quiero decir es que su pregunta se traduce en preguntar si la existencia de un mapa de "evolución" implica también que este mapa es continuo (y además generado por la acción de un operador lineal, tal vez autoadjunto o tal vez no). Ves por ejemplos muy elementales la respuesta es no, porque existen funciones que no son continuas. Para ser explícito: el mapa

mi (t) = {\begin{aligned} 0 si t \leq 0 \\ {mi}^{- t X^{2}} i F t > 0 \end{aligned}

$E(t)=\left\{\begin{aligned}0\text{ if $t\leq 0$}\\e^{-t x^2}\text{$if t> 0$}\end{aligned}\right .$ no es continuo y por lo tanto no existe operador lineal

H

$H$ tal que

E (t) = e^{- i t H} ψ

$E(t)=e^{-itH}\psi$ para algunos

ψ \in L^{2}

$\psi\in L^2$ .

Respuestas (2)

Espacio de Hilbert y hamiltonianos

Comentario a la pregunta (v3): dada una base ortonormal arbitraria para el espacio de Hilbert, es posible encontrar una cantidad infinita de operadores autoadjuntos $H$ que son diagonales en esa base.
Si la evolución no es unitaria, no estás describiendo el sistema completo, ¡sino un subsistema abierto! La unitaridad es uno de los pocos principios que ninguna teoría cuántica adecuada rompe al considerar sistemas cerrados.
@Qmechanic: Sí, parece simple. Pero algo no funciona. La función de onda discutida, permítanme llamarla S (r, t), es complicada. Aunque los abdominales. integrable al cuadrado, no es una superposición cuántica ordinaria de los vectores base ( $φ_i$ (r) ) del espacio de Hilbert. Lo que tengo es S(r, t) = $∑_i$ $C_i$ (t) $φ_i$ (R). y la dependencia del tiempo de $C_i$ (t) no es la dependencia ordinaria exp(-i $E_i$ t/ħ), donde $E_i$ son las energías de $φ_i$ (R), pero $C_i$ (t) = exp[-i( $E_i$ + Q)t/ħ], es decir, más complicado.
(continuación) Por cierto, es una función legítima en el espacio de Hilbert. Pero introduciendo esta superposición en la ecuación de Schrödinger, la dependencia temporal anterior genera problemas: lo que obtengo en el LHS (es decir, donde derivo por tiempo) no es igual a lo que obtengo en el RHS. Y repito, es una función legítima en el espacio de Hilbert.
@Sofia ¿Dónde están los $E_i$ ¿viene de? Algún hamiltoniano, supongo. La apariencia de $Q$ simplemente cambia todo el espectro por una constante. Eso no tiene ninguna consecuencia física. La norma del estado $S$ se conserva durante la evolución temporal, por lo que la dinámica es unitaria.
@nephente: la evolución en el tiempo de un estado propio $φ_i$ (r) del hamiltoniano, es de la forma $φ_i$ (r) exp(-i $E_i$ t/ħ), donde $E_i$ es la energía del objeto cuántico en el estado $φ_i$ (R). Pero tal vez te equivocaste y querías preguntar de dónde viene la cantidad Q en los exponentes de $C_i$ (t). Obtengo esta Q al desarrollar S(r, t) en una superposición de las funciones $φ_i$ (R). Me encantaría saber cuál es la interpretación física de Q, pero en este momento no puedo decirlo. Entonces, lo que sé es que la función S(r, t) es abs. Cuadrado integrable, y listo.
Matemáticamente hablando, la respuesta es obviamente no . Su pregunta en términos matemáticos: existe un mapa de "evolución" $E:\mathbb{R}\to L^2(\mathbb{R}^d)$ (que a cada vez se le asocia una función integrable al cuadrado). ¿Puedo entonces concluir que existe un grupo fuertemente continuo de operadores unitarios lineales? $U:\mathbb{R}\times L^2(\mathbb{R}^d)\to L^2(\mathbb{R}^d)$ tal que $E(t)=U(t)\psi$ para algunos $\psi\in L^2(\mathbb{R}^d)$ ? Suponer que $E$ no es continuo . Entonces $E$ no puede ser generado por ningún $U(t)$ , ya que estos últimos son fuertemente continuos por hipótesis.
Incluso relajando la condición en $U$ ser un $C^0$ -semigrupo (que puede permitir, en términos generales, generadores no autoadjuntos), nuevamente no podría realizar ningún no continuo $E$ . Por último, estoy bastante seguro de que exigir que $E$ es una función continua o incluso diferenciable no sería suficiente para garantizar que, en general, se realiza mediante una familia de operadores lineales que actúan sobre $L^2$ (y mucho menos un grupo unitario o $C^0$ -semigrupo).
@yuggib, lo lamento, pero aprendí la teoría de grupos DEMASIADO años atrás. Y no tengo tiempo para refrescar mis conocimientos ahora, y tampoco en un futuro próximo. ¿Puede, por el momento, formular su comentario, sin grupos? me alegraria mucho Con gracias de antemano.
Lo que quiero decir es que su pregunta se traduce en preguntar si la existencia de un mapa de "evolución" implica también que este mapa es continuo (y además generado por la acción de un operador lineal, tal vez autoadjunto o tal vez no). Ves por ejemplos muy elementales la respuesta es no, porque existen funciones que no son continuas. Para ser explícito: el mapa $mi (t) = {\begin{aligned} 0 si t \leq 0 \\ {mi}^{- t X^{2}} i F t > 0 \end{aligned}$ $E(t)=\left\{\begin{aligned}0\text{ if $t\leq 0$}\\e^{-t x^2}\text{$if t> 0$}\end{aligned}\right .$ no es continuo y por lo tanto no existe operador lineal $H$ tal que $E(t)=e^{-itH}\psi$ para algunos $\psi\in L^2$ .

una mente curiosa · Answer 1

una mente curiosa

Cualquier espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ con la noción de tiempo unitario la evolución también posee la noción de hamiltoniano .

Si $\mathcal{U}(t) : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ es el operador de evolución temporal para cada $t \in \mathbb{R}$ , entonces forma un subgrupo de Lie de un parámetro del grupo de operadores unitarios de Lie, que es generado por algún elemento distinto $H$ en el álgebra de Lie de operadores lineales. Este generador es el hamiltoniano y, como generador de un operador unitario, es necesariamente autoadjunto según el teorema de Stone , por lo que se obtiene un hamiltoniano cuyos vectores propios abarcan el espacio.

Dado que la evolución temporal no unitaria entra en juego si solo está considerando un subespacio del espacio completo de estados (por ejemplo, cuando no realiza un seguimiento de todos los productos de descomposición para los sistemas en descomposición), siempre se puede obtener una evolución unitaria al incorporar el subsistema en "todo el sistema", encuentre el hamiltoniano allí y luego proyéctelo nuevamente en el subsistema para obtener el hamiltoniano para el subsistema. Pero ahora, dado que la evolución del tiempo no fue unitaria aquí, no puede ser que este hamiltoniano sea autoadjunto (ya que el exponencial de los operadores autoadjuntos es unitario), por lo tanto, nos vemos obligados a concluir que los vectores propios de un hamiltoniano no pueden abarcar un subespacio en el que la evolución temporal no es unitaria.

Por lo tanto, no puede obtener un hamiltoniano que abarque el espacio y produzca una evolución temporal no unitaria, uno de estos necesariamente debe fallar.

mateus sampaio

El teorema de Stone establece que los grupos de evolución unitarios son generados por operadores autoadjuntos , no solo por los hermitianos, por lo que no es necesario hacer ninguna extensión. En realidad, diferentes extensiones de operadores hermitianos producen diferentes grupos de evolución unitaria.

Sofía

@ACuriousMind: Vi que respondiste y leí tu comentario, pero tengo que dejar la computadora ahora. Vuelvo mucho más tarde. Permítanme decir sólo en resumen. Es una cuestión controvertida si la descomposición es unitaria o no. Entonces, no estoy seguro de esto. En mi pregunta, solo di un ejemplo de que la existencia de un hamiltoniano no está garantizada. ESO ES TODO !!!. No sé nada más sobre mi sistema que el hecho de que su función de onda es abs. integrable en cuadrado. Entonces, aquí viene mi pregunta. Abdominales. integrabilidad cuadrada asegura la existencia de un hamiltoniano? Pero, como digo, volveré más tarde.

una mente curiosa

@Sofia: respondo que, independientemente de dónde provenga la evolución no unitaria: si la evolución temporal no es unitaria, no obtienes un hamitoniano que genera simultáneamente la evolución temporal y cuyos vectores propios abarcan el espacio en el que la evolución no unitaria tiene lugar la evolución unitaria.

Sofía

@Mateus: desconozco la diferencia entre un operador autoadjunto y uno hermitiano. También vi a otras personas afirmando que hay una diferencia. ¿Cuál es esta diferencia? Pero por favor, si es posible, dame una explicación sencilla. ¿Qué características tiene uno y no tiene el otro? Lo que aprendí es que AMBOS tienen la propiedad de valores propios REALES. Espero que esto no esté mal.

una mente curiosa

@Sofia: está mal, los operadores hermitianos no autoadjuntos pueden tener valores propios complejos. La diferencia existe solo en los espacios de Hilbert de dimensión infinita, donde los dominios de las definiciones de los operadores lineales no tienen por qué ser necesariamente todo el espacio. Un operador

A

$A$ es hermítico si es lo mismo que

A^{†}

$A^\dagger$ en su dominio de definición. Es autoadjunto si los dominios de definición de

A

$A$ y

A^{†}

$A^\dagger$ coinciden y son iguales en él. Una buena descripción general de los problemas con esta diferencia está aquí .

mateus sampaio

@ACuriousMind: la diferencia es solo una cuestión de dominios, pero los operadores hermitianos no pueden tener valores propios complejos, ya que si

A ψ = a ψ

$A\psi=a\psi$ para algunos

a \in C

$a\in\Bbb{C}$ y un normalizado

ψ

$\psi$ , tenemos que:

a = ⟨ ψ, a ψ ⟩ = ⟨ ψ, A ψ ⟩ = ⟨ A^{*} ψ, ψ ⟩ = ⟨ A ψ, ψ ⟩ = ⟨ a ψ, ψ ⟩ = a^{*}

$a=\langle\psi,a\psi\rangle=\langle\psi,A\psi\rangle=\langle A^*\psi,\psi\rangle=\langle A\psi,\psi\rangle=\langle a\psi,\psi\rangle=a^*$ es decir,

a \in R

$a\in\Bbb{R}$ . Lo que puede suceder, y de hecho sucede cuando el operador hermitiano no es autoadjunto, es que tiene valores complejos en el espectro , pero no valores propios complejos.

una mente curiosa

@MateusSampaio: Tienes razón. Olvidé que también hay una diferencia entre el espectro y el valor propio en el caso de dimensión infinita.

Sofía

@ACuriousMind y MateusSampaio: Ambos son muy amables, pero tengo que ver con los hamiltonianos que admiten valores propios COMPLEJOS. Un conocido me dijo que estos valores complejos son aceptables fuera del espacio de Hilbert. Pero ahora, es terriblemente tarde en mi país, espero poder comunicarme contigo mañana.

una mente curiosa

@Sofia: Es mejor si haces ping a MateusSampaio con tu @, ya que soy notificado automáticamente como propietario de esta publicación cuando aparece un comentario. Conozco la teoría de Feshbach, aunque no en gran detalle. Parece ser que, debido a la interacción con el entorno, no es un sistema cerrado, por lo que puede obtener "Hamiltonianos" que no son autoadjuntos.

Sofía

No, entiendo que te moleste demasiado. Es injusto de mi parte.

nefente · Answer 2

No, no veo por qué debería ser así. La noción de un espacio de Hilbert subyacente a un sistema mecánico cuántico es bastante independiente del postulado de que la evolución temporal es generada por un hamiltoniano.

La noción de espacio vectorial entra en QM, porque fundamentalmente QM debería ser una teoría lineal y así permitir superposiciones arbitrarias. La idea más maravillosa es que es un espacio sobre los números complejos.

El hecho de que una función de onda apropiada debe ser $L^2$ refleja la interpretación como una probabilidad/o densidad de carga.

Cualquier Hilbertspace (sensato) admite una base ortonormal contable. Elija un número real para cada uno de esos estados básicos y defina

(H)_{metro norte} = ⟨ ψ_{metro}, H ψ_{norte} ⟩ \equiv ϵ_{norte}

$(H)_{mn} = \langle \psi_m,H\psi_n\rangle \equiv \epsilon_n$

como elementos matriciales de un operador $H$ . El tipo de dinámica que describe este "Hamiltoniano" depende de la elección de los valores propios, por ejemplo, las energías. También debe asegurarse de que el espectro no sea demasiado patológico, por ejemplo, debe estar delimitado desde abajo para que pueda interpretarse como un espectro físico sensible.

Las evoluciones temporales no unitarias se producen en sistemas cuánticos abiertos , donde te olvidas del entorno que se acopla al sistema de interés, pero que, sin embargo, está ahí. La probabilidad puede "filtrarse" en el entorno, por lo tanto, una evolución no unitaria. Un ejemplo es, por ejemplo, la ecuación maestra de Lindblatt que describe el límite markoviano de un acoplamiento sistema-entorno.

Entonces, realmente, está argumentando que los sistemas cerrados con una función de densidad de probabilidad sensible deberían, por definición, ser descritos por un hamiltoniano, mientras que en un sistema abierto no es el caso. ¿Entiendo bien tu respuesta?
@PhotonicBoom Quiero decir, no puedes hacerlo solo con un Hilbertspace para describir un sistema físico. Se necesita alguna entrada dinámica. Uno de los postulados de QM es que la evolución del estado es generada por un operador hamiltoniano. La suposición implícita es que el sistema está cerrado. Sin acoplamiento a un entorno. Incluso con un "entorno", el sistema total aún puede considerarse cerrado y, por lo tanto, está gobernado por una evolución temporal unitaria. Sólo cuando se pasa a una descripción efectiva del subsistema trazando el entorno, surgen las dinámicas no unitarias.

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