Solución general para intersección de líneas 3D

He estado tratando de obtener el punto de intersección de 2 líneas 3D (en general, para poder codificar un algoritmo) usando las siguientes ecuaciones:

$$x_0 + k_0 a_0 = x_1 + k_1 a_1 \tag{1}$$

$$y_0 + k_0 b_0 = y_1 + k_1 b_1 \tag{2}$$

$$z_0 + k_0 c_0 = z_1 + k_1 c_1 \tag{3}$$

dónde$x,y,z$son coordenadas de puntos y$a,b,c$coordenadas vectoriales direccionales.

Creo que la idea es conseguir$k_0$o$k_1$para que pueda obtener el punto de la línea ($l_0$si uso$k_0$,$l_1$de lo contrario) usando su ecuación paramétrica.

He hecho algunas pruebas y si uso ecuaciones$(1)$y$(2)$Obtengo diferentes resultados que si uso$(2)$y$(3)$, así que creo que estoy haciendo algo mal...

De$(1)$:

$$k_0 = \frac{x_1-x_0 + k_1a_1}{a_0} \tag{4}$$

de$(2)$:

$$k_1 = \frac{y_0-y_1 + k_0b_0}{b_1} \tag{5}$$

de$(4)$&$(5)$:

$$k_1 = \frac{a_0 (y_0 - y_1) + b_0 (x_1 - x_0)}{a_0 b_1 - b_0 a_1} \tag{6}$$

Y de$(1)$&$(3)$:

$$k_1 = \frac{a_0 (z_0 - z_1) + c_0 (x_1 - x_0)}{a_0 c_1 - c_0 a_1} \tag{7}$$

no sé por qué, pero$(6)$&$(7)$obtener diferentes resultados para$k_1$...

No estoy controlando divisiones por cero porque C# devuelve NaN ($0/0$), -Infinidad ($-x/0$), +Infinito ($x/0$) cuando sea necesario, así que asumo que si no hay intersección habrá alguna división por cero o algo así, ¿no?

¿Alguna idea de lo que está mal?

¡¡Muchas gracias!!