Recta y plano tangente a una superficie cuádrica

La línea interseca a la cuádrica en dos puntos cuyos valores de parámetro$s$satisfacer la ecuación$(\mathbf a + s\lambda)^T A (\mathbf a + s\lambda)=1$. Si expandes esto, obtendrás una ecuación cuadrática que te da los dos valores relevantes de$s$. Si la línea es realmente tangente a la cuadrática, entonces los dos puntos de intersección serán coincidentes, por lo que la cuadrática tendrá raíces iguales. Esto le dará inmediatamente la condición deseada para la tangencia. De hecho la cuadrática “$b^2 = 4ac$“La condición que todos aprendimos en la escuela secundaria se convierte en:

$$4(\lambda^TA \mathbf a)^2 = 4(\lambda^TA \lambda)(1 - \mathbf a^TA \mathbf a)$$ El segundo término de la derecha es cero porque el punto$\mathbf a$se encuentra en la cuádrica, por lo que$\lambda^TA \mathbf a=0$.

Hasta donde yo sé, no se han escrito buenos libros sobre cuádricas en los últimos 50 años más o menos. Las mejores referencias que conozco son libros antiguos sobre geometría de coordenadas 3D. Busque autores como Sommerville, Snyder y Sisam, y Salmon.

Sommerville, Geometría analítica de tres dimensiones.

Snyder & Sisam, Geometría Analítica del Espacio

Salmon, Tratado de geometría analítica de tres dimensiones

Haz una expansión de Taylor alrededor$a$en la dirección$\lambda$:

$$(a+s\lambda)^TA(a+s\lambda)=\underbrace{a^TAa}_1+s\underbrace{2\lambda^TAa}_{f(a,\lambda)}+s^2\lambda^TA\lambda$$

El término de primer orden$f(a,\lambda)$(que de hecho el$\stackrel{\longrightarrow}{\operatorname{grad}}(f).\lambda$) expresa la "parte lineal". siendo igual a$0$expresa que$\lambda$pertenece al plano tangente

Por lo tanto, como

$$\lambda \ \text{ belongs to the tangent plane at point } a \ \iff \ f(a,\lambda)=0$$

Cambiando$\lambda$en$x$da la ecuación buscada del plano tangente:

$$f(a,x)=0 \ \iff \ 2x^TAa=0 \ \iff \ a^TAx=0$$

(debido a la simetría de la matriz$A$).