Bloque unido a un resorte que oscila sobre una superficie con fricción

Considere un bloque de masa$m$moviéndose con velocidad inicial$v_o$unido a un resorte con constante de resorte$k$, en un terreno que tiene un coeficiente de fricción cinética$\eta$y coeficiente de fricción estática$\epsilon$. Encuentre el tiempo que tardan las oscilaciones en desaparecer.

Si escribimos la ecuación de fuerza del bloque cuando se mueve hacia la derecha, obtenemos:

$$ma = -kx - \eta mg$$

O,

$$a = -\frac{k}{m} x - \eta g$$

Para un oscilador armónico desplazado de forma:

$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi) + x_0 \tag{1}$$

$$\ddot{x} = -\omega^2 ( x(t) - x_0)$$

Comparando con la ecuación anterior,

$$- \eta g = - \omega^2 x_0$$

Por eso,

$$\frac{ \eta g}{\omega^2} = x_0 \tag{2}$$

Por la ecuación fundamental de los resortes,

$$\omega^2 = \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{3}$$

Combinando 1,2,3:

$$x = A \cos( \frac{k}{m} t + \phi) + \frac{m \eta g}{k}$$

Ahora la parte rara:

¡Esto sugeriría que la oscilación continuaría para siempre! Sin embargo, es bien sabido que la fricción es una fuerza disipativa y elimina energía del sistema, por lo que si se elimina energía del sistema en cada ciclo, ¿por qué la ecuación no lo muestra?

posibles resoluciones

Pensando profundamente en el problema, me di cuenta de que mi ecuación diferencial se rompe cada vez que la velocidad del bloque cae a cero porque, de repente, la fricción estática reemplaza a la fricción cinética. Creo que este cambio repentino no debería causar demasiados problemas, pero no estoy seguro. ¿Cómo lidiar con la ecuación diferencial de movimiento que cambia repentinamente? ¿O es algún otro problema que causó este extraño resultado que obtuve?

Principalmente estoy buscando una respuesta que discuta las rupturas de la ecuación que gobierna el movimiento cuando v cae a cero y el signo de fricción

Actualización: encontré un documento que discute esto, puede escribir una respuesta más tarde basada en él (ver aquí)