Cómo verificar que esta ecuación implícita es una solución a una ecuación diferencial ordinaria no lineal.

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Cómo verificar que esta ecuación implícita es una solución a una ecuación diferencial ordinaria no lineal.

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Matemáticas
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ecuaciones diferenciales ordinarias

Steve

Estoy estudiando la ecuación diferencial ordinaria no lineal.

\frac{d^{2} y}{d X^{2}} = \frac{1}{y} - \frac{X}{y^{2}} \frac{d y}{d X}

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}-\frac{x}{y^2}\frac{dy}{dx}$

He ingresado esta ecuación en dos paquetes de software de matemáticas diferentes y producen respuestas diferentes.

software 1:

0 = C_{2} - en (X) - \frac{1}{2} en (- \frac{C_{1} y}{X} - \frac{y^{2}}{X^{2}} + 1) - \frac{C_{1}}{\sqrt{- C_{1}^{2} + 4}} {broncearse}^{- 1} (\frac{C_{1} + \frac{2 y}{X}}{\sqrt{- C_{1}^{2} + 4}})

$0=c_2-\ln(x)-\frac{1}{2}\ln\left(-\frac{c_1y}{x}-\frac{y^2}{x^2}+1\right)-\frac{c_1}{\sqrt{-c_1^2+4}}\tan^{-1}\left(\frac{c_1+\frac{2y}{x}}{\sqrt{-c_1^2+4}}\right)$

software 2:

0 = - C_{2} - en (X) - \frac{C_{1}}{\sqrt{C_{1}^{2} + 4}} {bronceado}^{- 1} (\frac{C_{1} X + 2 y}{X \sqrt{C_{1}^{2} + 4}}) - \frac{1}{2} en (\frac{C_{1} X y - X^{2} + y^{2}}{X^{2}})

$0=-c_2-\ln(x)-\frac{c_1}{\sqrt{c_1^2+4}}\tanh^{-1}\left(\frac{c_1x+2y}{x\sqrt{c_1^2+4}}\right)-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{c_1xy-x^2+y^2}{x^2}\right)$

Todavía no he intentado verificar la solución del software 1, pero he trabajado un poco en el software 2.

Primero usé el software 2 para tratar de resolver y, para sustituir la expresión por y directamente en la ecuación diferencial ordinaria. El resultado fue el siguiente:

Creo que este resultado es ambiguo, ya que esencialmente hay dos ecuaciones que se supone que deben ser igualadas a cero

No estoy seguro de si es posible resolver para y y, por lo tanto, verificar la validez de esta solución usando este método.

Luego leí un poco en Internet y me sugirieron, en este caso, tomar la segunda derivada implícita con respecto a x y luego simplificar.

Intenté hacer esto con el software matemático 2 y el resultado fue, después de simplificar:

\frac{d^{2} y}{d X^{2}} = \frac{C_{1} X y - X^{2} + y^{2}}{y^{3}}

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{c_1xy-x^2+y^2}{y^3}$

Hice algunos cálculos manuales y parece que el software 2 simplifica el resultado antes de calcular la siguiente derivada, incluso sin usar el comando simplificar.

Considerando esto, usé el software para tomar la primera derivada implícitamente, luego escribí la ecuación en su totalidad, puse esa ecuación en una forma diferente a la salida del software y calculé la segunda derivada implícitamente a mano, tratando las derivadas como funciones de x para operaciones como la regla del producto.

La ecuación que calculé no coincidía con la ecuación diferencial original.

El software 2 tiene una función llamada odetest, que se supone que verifica que una función es una solución a una ecuación diferencial ordinaria. Si usa odetest en esta solución, el resultado devuelto es cero, lo que implica que la función es una solución.

El problema es que odetest no muestra los pasos. Me puse en contacto con la empresa y pedí ver los pasos para este cálculo, pero no me proporcionaron los pasos.

¿Existen otras formas de verificar las soluciones implícitas de una ecuación diferencial ordinaria?

Respuestas (2)

Cómo verificar que esta ecuación implícita es una solución a una ecuación diferencial ordinaria no lineal.

lutz lehmann · Answer 1

Como existe una solución simbólica, debería ser posible transformar la ecuación e integrarla con medios relativamente elementales. Y de hecho, mediante un examen cuidadoso se encuentra que el lado derecho es la derivada de $\frac xy$ , de modo que una integración directa a

y^{'} (X) = \frac{X}{y (X)} + C

$y'(x)=\frac{x}{y(x)}+c$ es posible. Podrías tratar de encontrar esta forma de la ecuación a partir de tus soluciones, evitando la segunda derivada.

Bueno. ¿Cómo puedo hacer eso? ¿Puedes demostrar que cualquiera de las dos ecuaciones son soluciones de la ecuación diferencial?

usuario577215664 · Answer 2

\frac{d^{2} y}{d X^{2}} = \frac{1}{y} - \frac{X}{y^{2}} \frac{d y}{d X}

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{y}-\frac{x}{y^2}\frac{dy}{dx}$ Puede verificar la solución simplemente reescribiendo el DE como:

\frac{d^{2} y}{d X^{2}} = (X)^{'} \frac{1}{y} + X {(\frac{1}{y})}^{'}

$\frac{d^2y}{dx^2}=(x)'\frac{1}{y}+x \left (\frac{1}{y}\right )'$ Desde

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}

$(fg)'=f'g+fg'$ tenemos:

y^{″} = {(\frac{X}{y})}^{'}

$y''= \left (\frac xy \right )'$

y^{'} = (\frac{X}{y}) + C

$y'=\left (\frac xy \right) +C$

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Steve

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lutz lehmann

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usuario577215664

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