La Hermiticidad del Laplaciano (y otros operadores)

En general, uno necesita escribir las integrales para$\langle\phi|\Delta\psi\rangle$y$\langle\Delta\phi|\psi\rangle$y transformarlos entre sí usando la integración por partes.

La hermiticidad no depende de la base (representación matricial) utilizada. Pero depende de las condiciones de contorno impuestas, ya que es necesario asegurarse de que la integración por partes no genere términos de contorno no hermitianos.

Con las condiciones de contorno habitualmente utilizadas en mecánica cuántica (integrabilidad cuadrada en$R^n$), es un operador autoadjunto, y en particular hermitiano.

Sí.

Hermitian significa auto-adjunto con respecto a una forma conjugada-lineal. En este caso, la forma es$\langle\phi|\psi\rangle=\int\phi\psi^*$, donde la integral termina${\mathbb R}^3$. Lo sabes porque$p=\psi\psi^*$da la probabilidad de encontrar una partícula en$x$, entonces$\langle\psi|\psi\rangle=\int p=1$para una sola partícula. Eso no pretende ser una prueba, solo una forma de descartar casi cualquier otra posible forma lineal conjugada que pueda pensar.

Auto-adjunto significa que$\langle\nabla^2\phi|\psi\rangle=\langle\phi|\nabla^2\psi\rangle$. En este caso,

$$\int(\nabla^2\phi)\psi^* =\int\phi(\nabla^2\psi)^* =\left(\int(\nabla^2\psi)\phi^*\right)^*.$$ Así que hagamos eso. Con el uso liberal de la integración por partes y cosas que se desvanecen en el infinito cuando se supone que deben hacerlo, $$\begin{align} \int(\nabla^2\phi)\psi^* &=\sum\int\frac{d^2\phi}{d x_i^2}\psi^* =-\sum\int\frac{d\phi}{d x_i}\frac{d\psi^*}{d x_i}\\ &=-\sum\left(\int\frac{d\psi}{d x_i}\frac{d\phi^*}{d x_i}\right)^* =\left(\int(\nabla^2\psi)\phi^*\right)^*. \end{align}$$