Simetría QED BRST

Este es un problema de tarea que me confunde porque pensé que sabía cómo resolverlo, pero no estoy obteniendo el resultado que debería. Simplemente escribiré el problema palabra por palabra:

"Considere QED con fijación de manómetro$\partial _\mu A^\mu=0$y sin soltar los campos fantasma de Fadeev-Popov. Por lo tanto, el lagrangiano de calibre fijo es

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}+\frac{1}{2}(\partial ^\mu A_\mu )^2+\overline{\psi}(i\gamma ^\mu D_\mu -m)\psi+\overline{c}(-\partial ^\mu \partial _\mu)c$$ Verifique que el Lagrangiano es invariable bajo la transformación BRST $$\delta A_\mu=\epsilon \partial _\mu c,\delta \psi =0,\delta c=0,\delta \overline{c}=\epsilon \partial _\mu A^\mu"$$ Dos preguntas. En primer lugar, si estamos trabajando en el calibre donde $\partial _\mu A^\mu =0$, entonces ¿por qué ha dejado este término en el lagrangiano? ¿Quiere decir algo diferente por "fijación de calibre" de lo que estoy pensando? En segundo lugar, no estoy consiguiendo que este Lagrangiano sea invariante bajo la transformación listada. Encuentro que la transformación del campo de calibre da un término adicional de la forma $$-\epsilon e\overline{\psi}(\gamma ^\mu \partial _\mu c)\psi$$ eso no cancela. Este término surge de la $A_\mu$contenida en la derivada covariante. ¿Arruiné el cálculo en alguna parte? ¿Qué está sucediendo?