Sabemos que para un cuerpo con un eje de simetría de orden mayor que 2 tiene dos momentos de inercia iguales. Pero, ¿puede probarse lo contrario? Es decir, dado que sólo dos momentos principales son iguales, ¿se puede deducir que existe para el cuerpo un eje de simetría de orden mayor que 2?
Si la afirmación es falsa, ¿hay algún contraejemplo que tenga dos momentos iguales, pero que no "parece" simétrico?
La afirmación me parece cierta, pero más allá de la observación de que la elección de dos de los ejes principales es arbitraria en un plano (por degeneración del tensor del momento de inercia), no sé cómo demostrar rigurosamente la existencia de un eje de simetria.
¿Existen formas estándar de hacer (y probar) fuertes afirmaciones de simetría en física dadas unas pocas cantidades calculadas?
No es difícil construir un contraejemplo en el que los tres momentos principales de inercia sean iguales pero la distribución de la masa no tenga simetría.
La distribución de masa más fácil es probablemente 6 masas puntuales que se encuentran en los ejes Oxyz con el centro de masa en O. El hecho de que todas las masas se encuentren en los ejes asegura que estos sean los ejes principales de inercia, porque los productos de inercia son cero.
Hay 12 variables (6 masas, 6 distancias desde el origen) y 5 restricciones. 3 restricciones son de la forma . Estos aseguran que el centro de masa esté en el origen de cada eje. 2 restricciones son de la forma . Estos aseguran que el momento de inercia sea el mismo para todos los ejes. El número de variables supera con creces el número de restricciones, por lo que es posible elegir fácilmente valores que satisfagan las 5 restricciones.
Una solución es:
eje x: masas de 20 y 10 unidades a distancias de +1 y -2 unidades desde O.
eje y: masas de 15 y 5 unidades a distancias de +1 y -3 unidades desde O.
eje z: masas de 6 y 4 unidades a distancias de +2 y -3 unidades de O.
Las masas se colocan asimétricamente en cada eje pero el CM está en O. Los momentos de inercia en cada eje son:
unidades
unidades
unidades
Este contraejemplo muestra que la simetría no es una condición necesaria para que los 3 momentos principales de inercia sean iguales .
Depende de lo sofisticado que seas al definir "simetría".
Por ejemplo, considere un cuadrado uniforme, con un agujero en forma de triángulo equilátero. El baricentro del triángulo está en el centro del cuadrado pero la orientación de los vértices del triángulo es arbitraria con respecto a los lados del cuadrado.
Es fácil mostrar que la figura plana tiene momentos de inercia iguales, pero obviamente no "parece" simétrica.
Diracología
jerbo sammy