Gravedad en el espacio 2d y ley lineal inversa

La pregunta se refiere simultáneamente tanto a la gravedad de Newton (NG) como a la gravedad de Einstein/ relatividad general (GR), que son dos teorías diferentes.

1. Para la gravedad de Newton (NG) en 2+1D, la fuerza gravitacional es inversamente proporcional a la distancia. Más generalmente, en$n$dimensiones espaciales, entonces la fuerza gravitatoria$F\propto r^{1-n}$. Esto se debe a la ley de Gauss, porque una superficie de Gauss es$n-1$dimensional. La fuerza de Coulomb en electrostática tendrá una dependencia radial similar, ya que también debe obedecer la ley de Gauss.

2. La gravedad de Einstein en 2+1D es una teoría de campo topológica . El EFE linealizado no tiene grados de libertad físicos de propagación. Eso no excluye la existencia de, por ejemplo, efectos gravi-estáticos debido a singularidades cónicas .

3. En 3+1D, la gravedad de Newton (NG) se puede derivar de GR en un límite apropiado; consulte, por ejemplo, los métodos utilizados en esta publicación de Phys.SE. En 2+1D, GR no tiene límite newtoniano para constante cosmológica cero$\Lambda=0$. Para constante cosmológica negativa$\Lambda<0$, existen agujeros negros BTZ en 2+1D.

En Electrostática puedes escribir$F=qQ/(4\pi\epsilon_0 r^2)$en 3D, o como$\vec\nabla \cdot \vec E = \rho/\epsilon_0$y$\vec F=q\vec E.$Y el posterior generalizar a 2d como un$1/r$fuerza.

En gravedad newtoniana puedes escribir$F=mMG/r^2$en 3D, o como$\vec\nabla \cdot \vec C = \rho 4\pi$y$\vec F=m\vec C.$Y el posterior generalizar a 2d como un$1/r$fuerza.

Pero puede objetar y decir que esto no es electromagnetismo, después de todo, hay más en el electromagnetismo que la electrostática. En n=4=3+1 dimensiones del espacio-tiempo puedes imaginar un potencial de n-vector$A$y su derivado exterior es el campo electromagnético, y el$n(n-1)/2$Los componentes del campo electromagnético se dividen en dos campos vectoriales (n-1) (en relación con un marco) solo en un espacio-tiempo de 3+1 dimensiones. Todavía puede dividirlo en un vector relativo (n-1) y un bivector relativo (n-1) que proviene de un$(n-1)(n-2)/2$espacio dimensional.

De manera similar, puedes decir que la gravedad es más que un$1/r^2$fuerza. Lo que tienes es espacio-tiempo curvo. Y puedes tener diferentes tipos de curvatura. Puedes tener el tipo de curvatura en el vacío alrededor de una estrella de masa M. Puedes tener el tipo de curvatura en el vacío alrededor de una estrella de masa m.

Y puedes coserlos juntos a lo largo de una superficie esférica de área$4\pi R^2.$Y si coses el exterior de la$M$solución a la parte interior de la masa$m$solución y$M>m$entonces así es exactamente como alguna energía de energía$(M-m)c^2$puede coser juntos dos soluciones. Esto es lo que hace la energía en la relatividad general, toma dos regiones que normalmente pueden ser la forma en que el vacío se curva naturalmente y las une. Y así es como la curvatura se fortalece en la relatividad general, a medida que la materia colapsa, la región exterior que tiene la$M$La curvatura de tipo se extiende más profundamente hacia el centro de la estrella o planeta en formación. Y ese tipo de curvatura se vuelve más fuerte más cerca. Por lo tanto, la materia que se derrumba deja una curvatura más fuerte fuera de ella, ya que la interfaz entre los dos tipos de curvatura termina en una nueva ubicación.

Esto es similar a cómo en el electromagnetismo puede tener un campo eléctrico radial fuera de un conductor en transición a un campo cero en el interior. Ambos son soluciones de vacío y la carga en la superficie le permite coserlos juntos.

Pero, ¿recuerda cómo reemplazamos la fuerza electrostática simplificada con un campo electromagnético completo que era la derivada externa de un potencial escalar? ¿Y entonces esta era una bestia totalmente diferente en diferentes dimensiones?

En la Relatividad General lo fundamental es el espaciotiempo curvo. (Al igual que el campo electromagnético fue lo fundamental en el electromagnetismo). Y todo lo que hacen las fuentes es cambiar qué soluciones se pueden unir. (Al igual que las cargas y la corriente, los campos electromagnéticos divergen y evolucionan de manera diferente a como lo harían).

Entonces, al igual que tuvimos que cambiar nuestro potencial vectorial y, de repente, el campo magnético era un campo escalar, de manera similar, tiene soluciones de vacío totalmente diferentes para trabajar. Las mismas cosas que las fuentes deben unir son diferentes. En las dimensiones 1+1 y 2+1, los espacios-tiempos de vacío son planos, por lo que ya no hay cosas que unir, por lo que solo puede tener materia en algún lugar para tener curvatura, por lo que no puede dejar atrás la curvatura cuando algo se derrumba.