Sobre una polea, una cuerda, cuatro masas y dos resortes: ¿solucionable o no?

Imagine una polea con una cuerda sin masa y sin fricción. A ambos lados de la polea (y a ambos lados de la cuerda), colocamos una masa ($m_1$y$m_2$). Estas masas están conectadas con otras dos masas ($m_3$un$m_4$) por medio de dos resortes ideales (constantes de resorte$k_1$y$k_2$). La cuerda tiene una masa de s (kg/m).

Sostenemos las dos masas superiores a la misma altura, después de lo cual dejamos que el sistema siga su camino. ¿Cómo tenemos que modelar matemáticamente el sistema?

Para dos masas individuales en cada extremo la situación es simple. La masa más pesada obtiene una aceleración de$g-a$, la masa más ligera$g+a$y es facil de calcular$a$, si se conocen las masas. Pero, ¿qué sucede en este caso (de no equilibrio)? ¿Puede ser que sea un problema irresoluble de cuatro cuerpos?

Seguro que hay cuatro cuerpos (las cuatro masas). Pero este no es un problema de cuatro cuerpos porque las masas no se mueven en el campo de fuerza de cada uno. Dos pares de masas están conectados por una cuerda y ambos pares están sujetos a la fuerza de la gravedad.

Después de pensarlo un poco, el problema es más fácil de lo que pensaba. Para la aceleración, a, de ambos conjuntos de masas después de soltarlas, resolvemos la siguiente fórmula (si$(m_1+m_2)>(m_2+m_4)$):

$(m_1+m_2)(g-a)=(m_3+m_4)(g+a)$

Después de configurar$g=10$y algunos reordenando obtenemos:

$a=\frac{10(M-m)} {(M+m)}$, dónde$M=m_1+m_2$, y$m=m_3+m_4$

Así que las dos masas conectadas por resorte

Al conocer a, es fácil encontrar cuánto se han alargado o acortado los resortes.

Pero, ¿y si tenemos en cuenta la masa que cambia (igualmente) a cada lado de la polea debido a la masa de la cuerda?