Aceleración no uniforme debido a la cuerda de goma

Ciertamente desea integrar numéricamente su ecuación de movimiento dada su expresión de la fuerza.

Asumiré que la masa$m$está unido a un lado de la cuerda, mientras que el otro lado está unido a una pared o algo que no se moverá durante la integración. Algo como esto, donde el resorte es de hecho tu cuerda, con$x$la extensión de la cuerda

Luego, simplemente puede integrar (por ejemplo, usando el esquema de Euler) la ecuación

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{F(x)}{m}$$ Aquí hay un código de Ruby que uso cada vez que quiero obtener una solución numérica de una EDO en mecánica:

##################################################
## Integration using Euler (mid-point) method knowing position x and speed xp=\dot{x}
##################################################

def integration(x,xp)
  dxp = force(x)*@dt
  dx  = (xp+dxp/2)*@dt
  return x+dx,xp+dxp
end


##################################################
## Force expression knowing position x
##################################################

def force(x)
  return -10*x
end


##################################################
## Effective integration loop
##################################################

@dt = 0.001  # time increment
t = 0  # initial time
x = 5  # initial position
xp= 0  # initial speed
10000.times do |i|
  t += @dt
  x,xp = integration(x,xp)
  puts "#{t}\t#{x}\t#{xp}"
end

Simplemente ingrese sus condiciones iniciales y fuerce la expresión de sus medidas y tendrá tanto la posición como la velocidad a lo largo del tiempo (NB: tomé$m=1$en mi código, pero puede agregar el valor correcto donde quiera en la integrationfunción o en la forcefunción [que pasará a llamarse "aceleración" entonces]).

También puede refinarlo para integrarlo en un tiempo total constante y generar menos resultados que los pasos de integración (la precisión aumenta con un paso de integración más pequeño, @dtpero puede volverse difícil de dibujar cuando tiene un millón de puntos solo para ser más preciso en la integración)

Cuando la aceleración es una función de la posición, use lo siguiente

$$a(x) = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}v}{{\rm d}x} u$$

$$\int a(x)\,{\rm d} x = \int u\,{\rm d} u = \frac{1}{2} u^2 + K_1$$

que se resuelve para$u(x)$.

La posición se encuentra a partir de

$$t = \int \frac{1}{u(x)}\,{\rm d} x + K_2$$

que se resuelve para$x(t)$.

Ejemplo

$$a(x) = A\,x^{b}$$ $$\int A\,x^{b}\,{\rm d} x = \frac{A}{b+1} \left( x^{b+1}-1\right) = \frac{1}{2} u^2 + K_1$$

cuando$u=0$en$x=0$entonces$K_1 = \mbox{-} \frac{A}{b+1}$o

$$u(x) = \sqrt{\frac{2 A}{b+1} x^{b+1} }$$

Entonces

$$t = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{2 A}{b+1} x^{b+1} }}\,{\rm d} x + K_2 = \sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}} \left( x^{\mbox{-}\frac{b-1}{2}}-1\right) + K_2$$

y cuando$x=0$,$t=0$entonces$K_2 = \sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}}$o

$$t = \sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}} x^{\mbox{-}\frac{b-1}{2}}$$

$$x(t) = \left( \frac{t}{\sqrt{ \frac{2(b+1)}{A (b-1)^2}}}\right) ^{\mbox{-} \frac{2}{b-1}} = \left( \frac{A (b-1)^2}{2 (b+1)}\right)^{\mbox{-}\frac{1}{b-1}} \;t^\left({\mbox{-}\frac{2}{b-1}}\right)$$

Si tu masa fuera$m=1$entonces$a=f(x)$en gráfico y

$$x=1.397882\, t^{3.058906}$$