Sobre probar que la Hipótesis del Continuo es independiente de ZFC

Sí, tiene usted razón. Sin embargo, hay dos formas de evitar esto.

1. Podemos usar modelos con valores booleanos. Estas son clases definibles, y podemos mostrar que para una declaración$\varphi$, si hay un álgebra booleana completa$B$tal que en el modelo de valores booleanos$V^B$, el valor de verdad de$\varphi$no es$1_B$entonces$\varphi$no es demostrable de$\sf ZFC$.

   Entonces podemos encontrar tal$B$para el cual la hipótesis del continuo no alcanza el valor$1_B$.

2. Podemos argumentar que cualquier fragmento finito de$\sf ZFC$tiene un modelo contable transitivo. Si$\sf CH$era demostrable entonces era demostrable a partir de algún fragmento finito de$\sf ZFC$. Agregue a ese fragmento los axiomas necesarios para desarrollar los conceptos básicos de forzamiento necesarios para la prueba, y esta teoría es una subteoría finita que tiene un modelo transitivo contable, sobre el cual podemos forzar y mostrar que la subteoría finita se conserva. Sin embargo$\sf CH$es falso ahí. Así que cada fragmento finito de$\sf ZFC\cup\{\lnot CH\}$es consistente, por lo tanto$\sf ZFC\cup\{\lnot CH\}$es consistente.

Como señala Asaf, todavía podemos obtener los resultados de consistencia relativa que queremos sin "salir" de ZFC. Pero creo que vale la pena señalar que hay extensiones naturales de ZFC en las que la existencia de ctm's de ZFC son demostrables y, por lo tanto, en las que podemos llevar a cabo argumentos forzados tal cual.

Una extensión natural surge de agregar a ZFC un predicado de satisfacción$Sat(x, y)$con las habituales cláusulas de Tarkian para los conectores y cuantificadores. Por ejemplo, agregaríamos:

(&)$Sat(\phi\wedge\psi, a) \leftrightarrow Sat(\phi, a) \wedge Sat(\psi, a)$

dónde$a$es una función de asignación.

Una vez que tengamos$Sat(x, y)$en nuestro lenguaje, es natural extender el esquema de reemplazo a las fórmulas que lo involucran. En la teoría resultante podemos probar que existen estructuras cerradas e ilimitadas.$\alpha$tal que$V_\alpha$es una subestructura elemental de$V$. Cada tal$V_\alpha$modela ZFC, y luego es sencillo obtener nuestros ctm usando un argumento de casco de Skolem en cualquiera de ellos seguido del lema de colapso de Mostowski.