¿Hay modelos de teoría de conjuntos en los que cada número real es definible pero no todos los conjuntos son definibles?

Comience con un modelo definible por puntos que satisfaga$V=L$, p.ej$L_\alpha$dónde$\alpha$es el menor ordinal para el cual$L_\alpha\models\sf ZFC$.

Sobre este modelo fuerza con$\operatorname{Add}(\omega_1,\omega_1)$. Es decir, agregar$\omega_1$subconjuntos a$\omega_1$utilizando condiciones contables. Dejar$x_\alpha$denota el$\alpha$subconjunto añadido.

Como no añadimos nuevos reales, y como el modelo base era$L_\alpha$, todos los números reales son todavía definibles (si no por su definición original, entonces relativizándola a$L$). Sin embargo, ninguno de los$x_\alpha$es definible (sin parámetros). Para ver por qué, simplemente tenga en cuenta que si$p\Vdash\varphi(\dot x_\alpha)$, entonces hay algo$q\leq p$y$\beta\neq\alpha$tal que$q\Vdash\varphi(\dot x_\beta)$.

¿Por qué? simplemente toma$\beta$que no está en apoyo de$p$, dejar$q$ser la extensión de$p$en la que$q(\beta,\xi)=p(\alpha,\xi)$. Entonces el automorfismo del forzamiento,$\pi$, dado al cambiar el$\alpha$y$\beta$coordenadas satisface que$\pi q=q$, entonces$\pi q\Vdash\varphi(\pi\dot x_\alpha)$se reescribe como$q\Vdash\varphi(\dot x_\beta)$.