Sobre la fuerza que es directamente proporcional a la tasa de cambio del impulso [duplicado]

La segunda ley de Newton es la definición de fuerza. Esto es lo que es la fuerza. Si un objeto está acelerando, decimos que hay una fuerza actuando sobre él. Pero de esta forma su utilidad no es evidente. Para ver por qué esta definición es útil ( extremadamente ) necesitamos tener algún fenómeno físico que cause la aceleración. Afortunadamente, hay uno sencillo, la gravedad.

En la época de Newton, Kepler tenía sus leyes derivadas empíricamente de las observaciones astronómicas de Tycho Brahe. El genio de Newton fue descubrir la estructura unificadora subyacente en estas leyes: una ecuación diferencial entre dos masas que relaciona la aceleración (derivada temporal de segundo orden del desplazamiento) con las masas y su desplazamiento relativo.

$$\frac{m_1m_2}{r^2}\propto m_{1}\frac{d^2r}{dt^2}$$

Entonces, la fuente de aceleración es la gravedad y está gobernada por una ecuación diferencial de segundo orden. La naturaleza tiene esta estructura subyacente y por eso es útil esta definición de una cantidad llamada fuerza.

La ley de fuerza puede verse más como una definición que como una ley per se. ¿Cuál sería la fuerza sin la ecuación aparte de una descripción vaga?

De todos modos, la fuerza debe ser una cantidad que te diga cómo la interacción entre los cuerpos afecta su movimiento. Entonces, ¿cómo construir una definición buena y útil de tal cantidad? A partir de los experimentos de Galileo, Newton ya tenía noción de la primera ley de la mecánica. Es decir, la interacción entre cuerpos no debería afectar la velocidad en sí, sino el cambio de velocidad. De manera similar, parecía que la física es más o menos la misma en todas partes, por lo que la fuerza tampoco debería depender de la posición del cuerpo.

Como primer intento, la fuerza podría ser solo una aceleración.$F=a$. Pero esto no funcionará. Es experiencia de todos que cuanto más pesado es el objeto, más fuerza necesita aplicar, donde "pesado" y "fuerza" ahora se usan en su significado cotidiano.

El primer intento de incluir las propiedades de los objetos sería introducir alguna cantidad$m$, que debe determinarse de objeto a objeto y definir la fuerza como

$$F=f(m,a),$$ dónde$f$es una función a determinar.

Lo primero que puedo hacer es concatenar cuerpos y ver cómo se comporta la función. Hago algún dispositivo que producirá fuerza. No sé qué tan grande es, porque aún no definí la fuerza, pero si el mecanismo es el mismo, entonces es razonable esperar que la fuerza ejercida también sea la misma (por ejemplo, puedo usar el mismo resorte para cada experimento). Rápidamente encuentro que si uso el mismo mecanismo en el objeto con masa$m_1$, entonces sobre la masa$m_2$y luego en objeto concatenado con masa$m$, entonces obtendré:

$$a_1/m_1=a_2/m_2=a/(m_1+m_2).$$ Esto es válido para cualquier tipo de mecanismo que usemos, por lo que ya podemos ver la aditividad de la masa y que se cumple $$F=f(ma).$$ Ahora, podemos simplemente escribir$F=ma$, porque siempre podemos redefinir$F$tomando$F\rightarrow f^{-1}(F)$. Sin embargo, tal definición podría no ser del todo útil. También nos gustaría saber si duplicamos nuestro mecanismo de fuerza ejerciendo (por ejemplo, uniendo el objeto a dos resortes idénticos en lugar de uno), si la aceleración resultante también se duplicará. Y estamos de suerte, porque los experimentos demuestran que así será.

Nota: La última propiedad es en realidad la semilla de la tercera ley de Newton, por lo que no es una coincidencia tan extraña.

Isaac Newton usó experimentos (¿ Cómo descubrió Newton su segunda ley? ) para averiguar la relación entre la fuerza$F$y aceleración$a$. A partir de los datos que recopiló, concluyó que$F$es proporcional a$a$, una relación lineal. Cualquier proporcionalidad tiene una constante de proporcionalidad. Newton definió esta constante de proporcionalidad como masa inercial$m$. Por lo tanto,$F = ma$.

Aceleración$a$es la tasa de cambio de la velocidad$v$:$a = \frac{dv}{dt}$. Por lo tanto, tenemos$F = m\frac{dv}{dt}$. Usando la linealidad de la derivada,$F = \frac{d(mv)}{dt}$o$F = \frac{dp}{dt}$.

Entonces, la respuesta a su pregunta es que las observaciones del mundo real llevaron a la relación lineal. Así es como descubrimos la Ley de Coulomb, etc. La física se basa en observaciones/experimentos que luego se vuelven análogos a los axiomas matemáticos.