¿Cómo descubrió Newton su segunda ley?

La primera y la segunda ley de Newton no fueron particularmente revolucionarias ni sorprendieron a nadie en ese entonces. Hooke ya había deducido la gravitación del cuadrado inverso de la tercera ley de Kepler, por lo que entendió la segunda ley. Simplemente no pudo probar que el movimiento limitado en respuesta a una atracción del cuadrado inverso es una elipse.

La fuente de la segunda ley de Newton fueron los experimentos y experimentos mentales de Galileo, especialmente el principio de la relatividad de Galileo. Si crees que el mundo es invariable bajo movimiento uniforme, como dice claramente Galileo, entonces la velocidad no puede ser una respuesta física porque no es invariante, solo lo es la aceleración. Galileo estableció que la gravedad produce aceleración, y no hay salto de eso a la segunda ley.

La tercera ley de Newton, por otro lado , fue revolucionaria, porque implicaba la conservación del momento y la conservación del momento angular, y estos principios generales permiten a Newton resolver problemas. Las partes realmente jugosas de los Principia son los problemas específicos que resuelve, incluido el abultamiento de la Tierra debido a su rotación, que requiere pensar incluso ahora, tres siglos después.

EDITAR: Historia real vs. Historia del físico

La historia real de los avances científicos es compleja, con muchas personas haciendo diferentes contribuciones de diversa magnitud. La tendencia en la pedagogía es simplificar implacablemente y atribuir los resultados a una o dos personas, que son una especie de manejador de la época. Para la era moderna temprana, las personas a las que acudir son Galileo y Newton. Pero Hooke, Kepler, Huygens, Leibniz y muchos otros menos conocidos hicieron contribuciones cruciales en el camino.

Esto es especialmente pernicioso cuando tienes una figura de un genio tan singular como Newton. Los descubrimientos y contribuciones reales de Newton suelen ser demasiado avanzados para presentárselos a estudiantes universitarios principiantes, pero su estatura es inmensa, por lo que se le atribuyen resultados anteriores más triviales que eran folklore en ese momento.

Para repetir la respuesta aquí: Newton no descubrió la segunda ley del movimiento. Era bien conocido en ese momento, fue utilizado por todos sus contemporáneos sin comentarios y sin cuestionamientos. El mérito propio de la segunda ley pertenece casi con certeza a los italianos, a Galileo y sus contemporáneos.

Pero Newton aplicó la segunda ley con genialidad para resolver el problema del movimiento del cuadrado inverso, para encontrar la fricción de las mareas y la precesión de los equinoccios, para dar la oscilante órbita de la luna (en una aproximación), para encontrar el achatamiento de la Tierra, y la variación de altitud de la aceleración de la gravedad g, para dar un modelo casi cuantitativo de la propagación de las ondas sonoras, para encontrar la propiedad isócrona de la cicloide, y una multitud de otras contribuciones que son tan brillantes y tan completas en su alcance, que se le acredita con justicia como fundador de la ciencia moderna de la física.

Pero en las clases de física, no estás estudiando historia, y las aplicaciones enumeradas anteriormente son demasiado avanzadas para un primer curso, y Newton de hecho estableció la segunda ley, así que ¿por qué no simplemente darle crédito por inventarla?

De manera similar, en matemáticas, Newton y Leibniz reciben crédito por el teorema fundamental del cálculo. El crédito apropiado por el teorema fundamental del cálculo es para Isaac Barrow, el consejero de Newton. Leibniz no merece crédito en absoluto. Sin embargo, la verdadera esencia del cálculo no es el teorema fundamental, sino los principios organizativos de las expansiones de Taylor y los órdenes infinitesimales, con aproximaciones sucesivas e identidades diferenciales aplicadas en entornos variados, como problemas de longitud de arco. En esto, Newton fundó el campo.

Leibniz dio un segundo conjunto de principios organizadores, basados ​​en el cálculo infinitesimal de Cavalieri. Cavalieri fue contemporáneo de Galileo en Itali, y revivió o redescubrió las ideas originalmente debidas a Arquímedes en "El método de los teoremas mecánicos" (aunque es posible que no haya tenido acceso a este trabajo, que solo se redescubrió definitivamente a principios del siglo XX. Uno de los teoremas de Arquímedes reaparece en el trabajo de Kepler, lo que sugiere que tal vez el Método estaba disponible para estas personas en una copia oscura en alguna biblioteca, y solo se perdió en una fecha posterior. Esto es pura especulación de mi parte. Kepler podría haber formulado y resolvió el problema independientemente de Arquímedes. Es difícil saberlo. El problema es el volumen de un cilindro cortado por un prisma, relacionado con el problema de dos cilindros que se cortan en ángulo recto). Cavalieri y Kepler apenas superaron a Arquímedes, mientras que Newton fue mucho más allá. Leibniz le dio a la teoría su forma moderna, y todo el formalismo de integrales, diferenciales, regla del producto, regla de la cadena, etc., se debe a Leibniz y sus infinitesimales. Leibniz también fue uno de los descubridores de la conservación de la energía mecánica, aunque Huygens también tiene sus patas en eso, y no sé las fechas.

La historia moderna temprana de los matemáticos no es mejor. Una vez más, Newton y Leibniz reciben crédito por teoremas que no produjeron y que eran de conocimiento común.

Este tipo de historial falsificado a veces ocurre hoy en día, aunque Internet facilita la contabilidad honesta. Generalmente, Witten recibe crédito por todo, ya sea que se lo merezca o no. El fenómeno social fue codificado por Mermín, quien lo llamó "El principio de Mateo", a partir de la cita bíblica "Al que tiene, mucho se le dará, y al que no tiene, hasta lo poco que tiene se le quitará". El impulso de simplificar implacablemente reasigna el crédito a figuras bien conocidas, quitándole crédito a figuras menos conocidas.

La forma de combatir esto es simplemente citar correctamente. Esto es importante, porque el mecanismo de progreso no es aparente al ver la sopa, tienes que ver cómo se cocinó la sopa. Las generaciones futuras merecen obtener la receta, para que no seamos los únicos que podamos hacer sopa.

En primer lugar, sería descabellado pensar que existió una receta sencilla que siguió Newton y que cualquier otro puede utilizar para deducir leyes de un calibre similar. Newton fue un genio, y posiblemente el mayor genio en la historia de la ciencia.

En segundo lugar, Newton se inspiró en la caída de la manzana o, de manera más general, en la gravedad observada en la Tierra. Kepler entendió las órbitas elípticas de los planetas. Una de las leyes de Kepler, deducida mediante una cuidadosa prueba de hipótesis simples contra los datos precisos acumulados por Tycho Brahe, decía que el área dibujada en una unidad de tiempo permanece constante.

Newton se dio cuenta de que esto es equivalente al hecho de que la primera derivada de la velocidad, es decir, la segunda derivada de la posición, algo que él ya entendió intuitivamente, tiene que estar dirigida radialmente. En términos modernos, la ley del área constante se conoce como la conservación del momento angular. Así es como supo la dirección de la aceleración. También calculó la dependencia de la distancia, al ver que la aceleración de la manzana es 3.600 veces mayor que la de la Luna.

Entonces, pensó sistemáticamente en las segundas derivadas de la posición, la aceleración, en varios contextos que ha encontrado, tanto en cuerpos celestes como terrestres. Y pudo determinar que la segunda derivada podría haberse calculado a partir de las coordenadas de los objetos. Seguramente conjeturó muy rápidamente que todas las leyes de Kepler pueden derivarse de las leyes de las segundas derivadas, y como era cierto, fue sencillo probarle esta conjetura.

Obviamente, tenía que descubrir toda la teoría, tanto$F=ma$(o, históricamente más exactamente,$F=dp/dt$) así como una prescripción detallada para la fuerza - por ejemplo$F=Gm_1m_2/r^2$- al mismo tiempo porque un subconjunto de estas leyes es inútil sin el resto.

La aparición de la constante numérica en$F=ma$o$p=mv$es un tema trivial. La parte no trivial fue, por supuesto, inventar la noción matemática de derivada -especialmente porque la más importante era la segunda derivada- y ver a partir de las observaciones que la segunda derivada tiene la dirección que tiene (de la ley de Kepler) y la dependencia de la distancia que tiene (de comparar la aceleración de la Luna y la manzana que cae del árbol).

No era una tarea sencilla que pudiera haber sido resuelta por cualquiera, pero era manifiestamente lo suficientemente simple como para ser resuelta por Newton. Así que tuvo que inventar el cálculo diferencial,$F=ma$, así como la fórmula de la fuerza gravitacional en el mismo momento para apreciar realmente para qué sirve cualquier componente en física.

Ok, un poco más de búsqueda y encontré la Enciclopedia de Filosofía de Stanford :

En otras palabras, la medida del cambio de movimiento es la distancia entre el lugar donde habría estado el cuerpo después de un tiempo dado si la fuerza no hubiera actuado sobre él y el lugar donde está después de ese tiempo. Esto está de acuerdo con la medida universalmente utilizada en ese momento para la fuerza de la aceleración de la gravedad superficial, a saber, la distancia que un cuerpo que parte del reposo cae verticalmente en el primer segundo. La única previsión especial que Newton tiene que hacer es para fuerzas no uniformes que actúan continuamente, para las cuales, de acuerdo con el Lema 10, toma la distancia AB para variar “al comienzo mismo del movimiento en la razón al cuadrado de los tiempos. ”[21]

Si esta forma de interpretar la segunda ley parece perversa, tenga en cuenta que las matemáticas geométricas que Newton usó en los Principia, y que otros usaron antes que él, no tenían forma de representar la aceleración como una cantidad por derecho propio. Newton, por supuesto, podría haber conceptualizado la aceleración como la segunda derivada de la distancia con respecto al tiempo dentro del marco del cálculo simbólico. De hecho, esta es la forma en que Jacob Hermann presentó la segunda ley en su Phoronomia de 1716 (y Euler en la década de 1740). Pero las matemáticas geométricas utilizadas en los Principia no ofrecían ninguna forma de representar las segundas derivadas. (Newton empleó la curvatura, es decir, el círculo "tocando una curva", en lugar de la segunda derivada con respecto a la distancia a lo largo de los Principia). Por eso,

Bajo esta interpretación, la segunda ley de Newton no habría parecido novedosa en ese momento. Las consecuencias del impacto también se estaban interpretando en términos de la distancia entre donde habría estado el cuerpo después de un tiempo dado, si no hubiera sufrido el impacto, y donde estaba después de este tiempo, después del impacto, con la magnitud de esta distancia. dependiendo de los volúmenes relativos de los cuerpos que impactan. Además, la descripción de Huygens de la fuerza centrífuga (es decir, la tensión en la cuerda) en movimiento circular uniforme en su Horologium Oscillatorium usó como medida de la fuerza la distancia entre donde habría estado el cuerpo si hubiera continuado en línea recta y su ubicación en el círculo en un pequeño incremento de tiempo limitante; y luego añadió que la tensión en la cuerda también sería proporcional al peso del cuerpo.

Encuentro esto un poco difícil de seguir, pero parece que Newton se basa en un lema (suposición) de que la distancia que cae un objeto varía según la proporción cuadrática de los tiempos, y presenta argumentos sobre el movimiento circular. Así que esencialmente llegó a esta conclusión basándose únicamente en observaciones astronómicas, ¿es correcto? ¿Y cómo le explicarías esto a un estudiante de secundaria?

Newton tenía muchos precedentes. Él no ideó los Postulados 1 y 2 en el vacío.

En cuanto al 1er Postulado:

• John Philoponus (ca. 490-570) primero ideó la noción de inercia.

  …el descanso se encuentra en todas las cosas. Pues los cielos que se mueven perpetuamente participan del reposo, porque la misma persistencia del movimiento perpetuo es reposo.
  [ En De anima , 75, 11].
  
  …los cuerpos celestes son, si se me permite decirlo, inmóviles en su movimiento.
  [ En Meteorológica , 11, 31]

En cuanto al 2do Postulado:

• Jean Buridan (ca. 1295-1358) ideó la noción de cantidad de movimiento y cómo se carga, que es lo que Newton llamó fuerza.

  Debe imaginarse que un cuerpo pesado adquiere de su motor primario, es decir, de su gravedad, no sólo movimiento, sino también, con ese movimiento, cierto ímpetu tal que es capaz de mover ese cuerpo junto con la gravedad constante natural. Y como el ímpetu se adquiere proporcionalmente al movimiento, se sigue que cuanto más rápido es el movimiento, mayor y más fuerte es el ímpetu. Así, el cuerpo pesado se mueve inicialmente sólo por su gravedad natural y, por lo tanto, lentamente; pero luego es movida por esa misma gravedad así como por el ímpetu ya adquirido, misma gravedad así como por el ímpetu ya adquirido, y así es... continuamente acelerada hasta el final.
  [ Qu. De caelo et mundo (1942), 180.]

No sé si esto es lo que hizo Newton, pero podría probarlo con un elaborado experimento mental. Piensa en un plano infinitamente largo y liso (sin fricción) en el que podrías rodar una pelota. Imagine agregar una rampa a este avión y hacer rodar una pelota por ese pico hasta el avión.

Claramente, como había dicho Galileo, seguiría rodando hacia el infinito, pero si lo piensas, ¿qué es lo que hace que la bola empiece a rodar en primer lugar? Tiene que haber algo empujándolo o tirando de él para que haga eso. Entonces, si ves el comienzo, entonces tiene que tener algo que ver con caerse. Como habían demostrado los experimentos de Galileo en Pisa, cuando dos objetos de diferente masa caen, golpean el suelo en el mismo momento y parecen caer a la misma velocidad. Entonces, la cosa que los jala debe ajustarse por lo pesado que es ese objeto...

Entonces, esto significa que no tengo que preocuparme por el peso de mi pelota. Entonces, solo para verificar si hay alguna relación aquí. Podría hacer una rampa lisa de madera y cronometrar una bola rodando hacia abajo desde la misma altura una y otra vez. También podría notar dónde está la pelota en diferentes momentos poniendo algún tipo de escala al lado de ese plano.

Esto significa que puedo correlacionar qué tan rápido comienza a ir con lo que lo está jalando. Ahora bien, esto prueba que hay algo empujándola y que esta pelota parece acelerar al mismo ritmo, pero ¿qué pasa cuando golpean algo? Si tenemos bolas del mismo tamaño y diferente masa y algo que puede ceder ahí abajo, ¿podemos ver cuánto se mueve el objeto sobre una superficie rugosa? (cuánto trabajo hace)

¿Significa eso de alguna manera que estas bolas más pesadas han ganado más inercia durante el mismo tiempo? Entonces, ¡eso significaría que la aceleración y la masa están correlacionadas!

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Así que, esencialmente, seguiría mirando las cosas, observándolas y probando mis pensamientos hasta que pudiera encontrar algo que pudiera explicar (¿un montón de leyes, tal vez?) por qué esa maldita pelota se comporta de la manera en que se comporta. :D

[ Nota: Lo siento por cualquier error ortográfico o gramatical. Soy un poco disléxico.]

Estoy tentado a asumir que esto no tiene su origen en las órbitas. Sin embargo, por supuesto, puede usarse para describir por qué ocurren junto con una teoría de la gravedad.

Newton habría estado familiarizado con muchos escenarios de mecánica de libros de texto:

... la fuerza que tira de un objeto al suelo. También calculó la fuerza centrípeta necesaria para sostener una piedra en una honda y la relación entre la longitud de un péndulo y el tiempo de su oscilación. http://www.newton.ac.uk/newtlife.html

y, por lo tanto, puede haber podido comparar estas fuerzas, el peso de un objeto grande y la fuerza centrípeta de una piedra, por sus efectos en objetos conocidos: alambres que se rompen, resortes que se desenrollan (o deforman), etc.

A partir de ahí, puede comenzar a cuantificar las fuerzas y compararlas con los cambios de velocidad y comenzar a postular la proporcionalidad.

Esa es mi opinión de todos modos, ¡espero que esto ayude!

Newton descubrió$F=ma$porque es un "economizador de pensamiento", como diría Ernst Mach . Para "economizar el pensamiento" significa resumir sucintamente los resultados de experimentos físicos u observaciones. Dado que hay muchas formas de " salvar los fenómenos " de experimentos u observaciones, también hay muchas teorías y, por lo tanto, muchas fórmulas físicas correspondientes.

Por ejemplo, considere las siguientes tres teorías de la gravedad aplicadas al movimiento planetario:

1. teoría epicíclica
2. de newton$F\propto1/r^2$teoría
3. Teoría de la Relatividad General (GR) de Einstein

Estas tres teorías pueden explicar, dentro de ciertos límites, un conjunto dado de observaciones de los movimientos de los planetas, pero todas usan fórmulas matemáticas completamente diferentes:

1. La teoría epicíclica utiliza básicamente una serie compleja de Fourier (cf. this ).
2. La teoría de Newton usa una ecuación algebraica simple.
3. GR utiliza tensores.

Newton pensó que su teoría universal de la gravitación,$F=Gm_1m_2r^{-2}$, se dedujo de manera única, exacta y lógica de las observaciones de Kepler, pero esto claramente es falso porque las observaciones de Kepler mostraron perturbaciones de un perfecto$1/r^2$debido a que el sistema solar está compuesto por muchas masas. También es falso porque, por ejemplo, la teoría GR de Einstein reemplazó a la teoría de la gravitación de Newton.

Por lo tanto, una teoría de la física (por ejemplo,$p=mv$) no es más lógicamente correcto que otro (por ejemplo,$p=m+v$), aunque ciertamente uno podría ser mejor para resumir los resultados de experimentos y observaciones que otro.

Las fórmulas de la física no se derivan de las matemáticas como una prueba geométrica se deriva de los axiomas de Euclides. Las fórmulas de la física se derivan de observaciones y experimentos; las matemáticas no obligan a que una fórmula física sea de cierta manera.

Para un excelente libro sobre todo este tema, consulte The Aim & Structure of Physical Theory del físico, historiador y filósofo de la física francés Pierre Duhem .

Jerry Schirmer y Tobais Kienzler ofrecen lo que me parece una respuesta bastante buena.

Jerry dice:

Es cinemática para determinar la aceleración de la luna. La geometría dice que la aceleración de una órbita circular es v2r. Puede medir la distancia a la luna a través del paralaje y, si conoce la distancia, puede inferir la velocidad a partir de la duración del mes. La segunda ley de Newton es más una definición que una declaración. Una vez que tienes la ley de la inercia, simplemente presupones que cuando algo se desvía del movimiento constante, debe haber alguna fuerza, y cuanto más desviación obtienes, más fuerza. Es circular a menos que solo defina fuerza de esta manera.

Tobías dice:

Esto puede sonar extraño, pero nunca entendí qué es lo que tiene de especial: hay impulso, y si no es constante, hay una causa definida como fuerza, y medible al observar el cambio de impulso. Sin embargo, lo mejor es la idea de la generalización para obtener, por ejemplo, la ley de la gravedad como algo válido para todo tipo de materia y no solo la observada en un experimento.

Entonces, ¿N2 es realmente una forma de definir la fuerza en términos de cambio de cantidad de movimiento? Siempre había escuchado que era una relación que tenía que probarse mediante experimentos, y esa es ciertamente la única forma en que he visto que se enseña en la escuela: mediante experimentos.

Bien podría ser que a Newton se le dio la idea de la ley del inverso del cuadrado de un genio contemporáneo, Robert Hooke. Vea aquí para más detalles : http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_law_of_universal_gravitation

PD: Incluso si Hooke originó la idea (¿cómo?), ¡fue el genio de Newton el que impulsó la ley del inverso del cuadrado hasta los confines del tiempo y el espacio!

Sigue leyendo los pricipia, digamos las primeras 20 o 30 páginas... ¿Qué teoremas demuestra Newton inmediatamente después de la enunciación de las leyes? Es una buena suposición que el proceso de probar tales teoremas lo llevó a pensar profundamente sobre las leyes y los axiomas necesarios para ello.

Una mejora con respecto a wikipedia/wikibooks es, a partir de hoy, el Proyecto Newton, http://www.newtonproject.sussex.ac.uk/ , donde se pueden consultar las versiones "diplomáticas", las versiones preliminares de los textos , con correcciones y variaciones del propio Newton.