Sobre el estado estacionario en los flujos de Stokes

Nota: He leído preguntas similares, pero como no es totalmente lo que quiero, y son antiguas, preferí escribir una nueva.

Entonces, si uno pretende trabajar con Navier-Stokes a microescala, la ecuación que se usa es la ecuación de Stokes, donde hemos despreciado la parte de la inercia sobre la fuerza viscosa. Esto sucede cuando Re << 1, un par podría trabajar con la ecuación de Oseen para una mejor aproximación. Ahora, mi pregunta es con respecto a la aproximación que da el flujo de Stokes. Ya sea en Stokes u Oseen, solo descuida/linealiza: v ⋅ ∇ v , pero no ∂ t v . El último se omite porque el flujo es constante. Y la pregunta es: físicamente, ¿cuál es la interpretación de ambos términos y el significado de constante?

Imagino que en un volumen fijo V de fluido en una posición x, la velocidad del fluido evolucionará su velocidad porque está cambiando por sí mismo (parcial), y porque está recibiendo fluido del exterior (convección, inercia). ¿Es eso? si tiene, digamos, una bacteria viva que se mueve dentro del fluido, ¿puede ser estable porque la velocidad del fluido alrededor de la bacteria cambia solo por convección? ¿Podría ser también un escenario posible donde el parcial no sea 0 a esta escala?

Básicamente estoy interesado desde un punto de vista físico, porque quiero entender los conceptos principales, no solo las matemáticas en sí.

Tal vez ayudaría agregar una descripción detallada de (su comprensión de) cómo se pasa de Navier Stokes a Stokes a Oseen .
Bueno, como dije, te descuidas. v ⋅ ∇ v porque es mucho más pequeño que el término viscoso, v ∇ 2 v . Quiero decir, proviene de NS adimensional donde obtienes un prefactor para el término viscoso que es el número Re. Y con ese número en Re bajo significa que la inercia puede despreciarse sobre el término viscoso. Sobre Oseen o Stokes, depende si quieres descuidar por completo la inercia o no.
La interpretación física es que en el momento en que dejas de empujar, la viscosidad es tan alta que el fluido detiene el movimiento. Supongo ∂ t v no es 0 si no está en equilibrio. p.ej. mmm... calentando el fluido?

Respuestas (2)

Lo bajo R mi El límite está muy alejado de nuestra experiencia diaria, por lo que la intuición física puede ser difícil de comprender aquí. Como mencionas, las matemáticas exigen que la ecuación del momento se transforme en

∇ pag = m ∇ 2 tu
como una aproximación de primer orden. Eso no quiere decir que ∂ t tu o tu ⋅ ∇ tu desaparecen por completo, pero son mucho menos relevantes dinámicamente.

Físicamente, el bajo R mi El régimen se rige por la disipación. Como sugiere, una bacteria puede intentar moverse alrededor del fluido, pero su impulso se disipará constantemente en el campo. (Nunca pensarían en sugerir que se está respetando la primera ley de Newton). En la aproximación de primer orden que R mi ≪ 1 , cualquier energía que la bacteria intente poner en el sistema se descompone instantáneamente.

Ambos términos v ⋅ ∇ v y ∂ t v tienen el mismo orden de magnitud. De hecho, el primero proviene del uso del marco euleriano mientras que en el marco lagrangiano solo existe el segundo. Si la escala de longitud de su sistema es d y la velocidad es del orden V , entonces ∂ t debe ser de orden V / d ∼ V ∇ . Ahora, ¿significa que el flujo solo puede ser constante? No necesariamente ya que en muchos casos la ecuación del momento está acoplada a otra que hace que las fuerzas aplicadas al fluido, fuerza de cuerpo o fuerza de superficie, cambien con el tiempo. La ecuación de Stokes significa que el flujo se ajustará instantáneamente al cambio de fuerza aplicada.

En el ejemplo de la bacteria (o cualquier cuerpo que nada lentamente), puede cambiar de dirección o velocidad cambiando las fuerzas aplicadas al fluido que la rodea. En el R mi ≪ 1 límite, se aplica la ecuación de Stokes y el flujo se ajusta instantáneamente. En ese sentido, es estable. Pero si la bacteria cambia de velocidad, el observador externo ve que el flujo cambia. En ese caso, el cambio del fluido proviene de la variación de los límites.

Otro ejemplo es en convección en número de Prandtl infinito, como lo que sucede en el manto de la Tierra. La ecuación de Stokes se aplica con la adición de una fuerza de flotabilidad proporcional a la temperatura. La temperatura evoluciona con el tiempo debido a la ecuación de balance de energía que generalmente conduce a la inestabilidad, al menos a un número de Rayleigh alto. Pero en cada instante, la ecuación del momento es estable, con un equilibrio entre la presión, la flotabilidad y las fuerzas viscosas.

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