¿Puede haber teorías FOL contables consistentes que no tengan modelos contables?

L S ( ℵ 0 ) : Todos los modelos METRO de una teoría de primer orden T con firma contable tiene un submodelo elemental norte que es a lo sumo contable.

Ahora bien, este teorema es equivalente sobre los axiomas de Z F al axioma de elección dependiente ' ' D C " .

Ahora bien, ¿significa esto que en Z F + ¬ D C , podemos tener una teoría consistente en una firma contable que no tiene un modelo contable?

Respuestas (1)

No. Si una teoría es bien ordenable, entonces tiene un modelo bien ordenable que satisface todas las propiedades usuales en Z F C .

Para ver por qué, tenga en cuenta que puede codificar todo en un conjunto de ordinales A , luego en L [ A ] tu teoría existe y es un modelo de Z F C , por lo que la teoría tiene un modelo contable. Pero esto es absoluto hacia arriba para V .

Ese es un argumento enormemente exagerado: solo observe que la construcción del modelo habitual se lleva a cabo sin elección si la teoría está bien ordenada. (+1 por supuesto, sin embargo.)
Claro, pero ese es un argumento más claro.
¿Podemos tener teorías de primer orden en firma contable que no sean bien ordenables?
@Zuhair: No. Si una teoría es contable, la firma es contable. Si una firma es contable, hay muchas oraciones numerables de donde nace una teoría. Si una firma está bien ordenada, entonces hay muchas oraciones ordenadas. Si solo agrega símbolos, pero nunca los usa, ¿cuál es el punto de tenerlos?
¿Puede haber teorías FOL contables consistentes que no tengan modelos contables?
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