Conexión entre las muchas definiciones diferentes del Axioma de Elección

($X$y$I$denotará conjuntos a lo largo).
Probablemente esté acostumbrado a interpretar$X^{n}$como el conjunto de$n$-tuplas$(x_{1}, \ldots, x_{n})$tal que cada uno$x_{i}$es en$X$.

Sin embargo, una forma equivalente de interpretar esto es como el conjunto de todas las funciones$\{1, \ldots, n\} \to X$. En efecto,$(x_{1}, \ldots, x_{n}) \in X^{n}$corresponde a la función$i \mapsto x_{i}$, mientras que una función$f : \{1, \ldots, n\} \to X$corresponde a la tupla$(f(1), \ldots, f(n))$.

En general, conjuntos dados$X_{1}, \ldots, X_{n}$, puedes interpretar$X_{1} \times \cdots \times X_{n}$ya sea como el conjunto de$n$-tuplas o como el conjunto de funciones$\{1, \ldots, n\} \to \bigcup_{i = 1}^{n} X_{i}$tal que$f(i) \in X_{i}$para todos$i \in I := \{1, \ldots, n\}$.

Pero esto es precisamente lo que es una función de elección, para la colección$\{X_{1}, \ldots, X_{n}\} = \{X_{i} : i \in I\}$.

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Una vez que tenga lo anterior en su lugar, es fácil ver cómo se definiría un producto arbitrario de conjuntos. De hecho, deja$\{X_{i} : i \in I\}$sea ​​una colección de conjuntos, donde$I$es arbitraria (supongamos que no está vacía). Entonces, uno define

$$\prod_{i \in I} X_{i} := \left.\left\{f : I \to \bigcup_{i \in I} X_{i} \;\right\vert f(i) \in X_{i} \text{ for all } i \in I\right\}.$$ En otras palabras,$\prod_{i \in I} X_{i}$es precisamente el conjunto de todas las funciones de elección. Ahora debería quedar claro cómo las dos versiones de elección son equivalentes (esto es en realidad una equivalencia por definición, no por ningún trabajo matemático).

La motivación detrás de la formulación de AC que involucra funciones de elección es la siguiente: si tenemos una colección bien definida$C$de conjuntos no vacíos hay una manera de elegir exactamente un miembro de$C$tal que la colección resultante es un conjunto. El ejemplo de Russell sobre los calcetines es una buena manera de explicar esto.

La misma idea subyace en la versión de AC que se refiere a productos: dada una familia no vacía de conjuntos no vacíos, existe una función que envía cada índice$i$a exactamente un miembro del conjunto indexado por$i$. Esta función selecciona un miembro de cada conjunto no vacío de la familia de modo que la colección resultante sea un conjunto.

Que ambas versiones de AC son equivalentes es inmediato en el contexto de ZF: suponga la formulación de la función de elección y considere el Producto$\Pi _{i \in I} X_i$para alguna familia$(X_i)_{i \in I}$con$I \not = \emptyset$y$X_i \not = \emptyset$. Dejar$g$sea ​​una función de elección para el conjunto de$X_i$y definir$f$por$f(i) = g(X_i)$, para cada$i \in I$. Entonces$f \in \Pi _{i \in I} X_i$. Por el contrario, asuma la versión del producto de AC y considere algún conjunto no vacío$X$de conjuntos no vacíos. si dejamos$I = X$, el mapa de identidad en$I$es una familia no vacía de conjuntos no vacíos$(X_i)_{i \in I}$. Entonces, hay algunos$f \in \Pi _{i \in I} X_i$, que es una función de elección para$X$.

No estoy seguro acerca de la metáfora del "calcetín y el zapato", pero aquí hay una manera simple de pensar sobre las cosas.

Dejar$X_1$y$X_2$ser conjuntos no vacíos. Elementos de$X_1 \times X_2$son de la forma$(x_1, x_2)$, con$x_1 \in X_1$y$x_2 \in X_2$. En otras palabras, un elemento de$X_1 \times X_2$equivale a elegir un elemento para cada conjunto de factores$X_1$y$X_2$. Es decir, cada elemento de$X_1 \times X_2$es una función de elección. Bueno, si tiene una gran colección de conjuntos no vacíos$X_i$indexado sobre un conjunto$I$, un elemento de$\Pi_{i \in I}X_i$es una función de elección, por lo que la existencia de una función de elección es equivalente a que este producto no esté vacío.

La suma directa en su ejemplo es formal. Es equivalente a un conjunto de conjuntos aquí. Elegir un elemento de una suma directa es la función de elección de su redacción como un conjunto de conjuntos.

Hewitt/Stromberg, Real and Abstract Analysis, GTM 25 dio una prueba de equivalencia para:

$$\text{AC }\Leftrightarrow\text{ Tuckey's Lemma }\Leftrightarrow \text{ Hausdorff maximality principle }\Leftrightarrow \text{ Zorn's Lemma }\Leftrightarrow\text{ well-ordering theorem}$$ en caso de que esté interesado en más perspectivas.