Morfismos épicos en la categoría de espacios vectoriales. ¿Se necesita CA?

En F i norte V mi C t k , la categoría de finito-dimensional k -espacios vectoriales, todos los epis son sobreyectivos, por el argumento dado en esta respuesta . Sé cómo generalizar este argumento a V mi C t k (la categoría de espacios vectoriales de dimensión no necesariamente finita). Pero en el argumento que ideo, si F : V → W es un mapa lineal no sobreyectivo que se quiere mostrar no épico, debemos usar el axioma de elección para obtener una base B de Soy ⁡ F , y para luego completar B ∪ { w } a una base de W , dónde w ∈ W ∖ Soy ⁡ F , para definir una proyección W → Soy ⁡ F .

Me gustaría saber: ¿se puede hacer esto sin aire acondicionado? O tal vez es que la afirmación “en V mi C t k , todos los epis son sobreyectivos” es equivalente a AC?

Respuestas (1)

No se necesita elección para esta afirmación. Solo considera el mapa del cociente q : W → W / Soy ⁡ F y el mapa cero 0 : W → W / Soy ⁡ F . Ambos mapas dan 0 cuando se compone con F , Así que si F es épico, son iguales. Pero q es sobreyectiva, entonces q = 0 implica cada elemento de W / Soy ⁡ F es 0 , es decir Soy ⁡ F es todo de W .

Mucho mejor que mi solución, ¡aunque sabía que estaba en la dirección correcta!
Para aclarar, supongo que discutes con Soy ⁡ F definido como { F ( X ) ∣ X ∈ W } , no con la definición de la teoría de categorías como kernel del cokernel; después de todo, necesitamos referirnos a S mi t en algún lugar para tratar con la noción de sobreyectividad. Y me temo que preferiríamos recurrir a la elección de bases en algún momento a la hora de mostrar que las dos nociones de Imagen son realmente la misma
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