¿Cuál es el significado físico de la doble conectividad de la variedad de grupo SO(3)SO(3)\rm SO(3)?

Sólo a la vista de la doble cobertura universal proporcionada por$SU(2)$,$SO(3)$debe ser un cociente de$SU(2)$con respecto a un subgrupo normal discreto central con dos elementos. Esto es consecuencia de una propiedad general de los grupos de Lie de cobertura universal:

Si$\pi: \tilde{G} \to G$es el homomorfismo del grupo de Lie que cubre universal, el núcleo$H$de$\pi$es un subgrupo central normal discreto del recubrimiento universal$\tilde{G}$de$G= \tilde{G}/H$, y$H$es isomorfo al grupo fundamental de$G$, es decir$\pi_1(G)$(que, para los grupos de Lie, es abeliano) .

Un elemento de ese subgrupo debe ser$I$(ya que un grupo incluye el elemento neutro). El otro,$J$, debe verificar$JJ=I$y por lo tanto$J=J^{-1}= J^\dagger$. Por inspección directa se ve que en$SU(2)$solo es posible para$J= -I$. Asi que$SO(3) = SU(2)/\{I,-I\}$.

Darse cuenta de$\{I,-I\} = \{e^{i4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }, e^{i2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }\}$queda en el centro de$SU(2)$, a saber, los elementos de este subgrupo conmutan con todos los elementos de$SU(2)$. Es más$\{I,-I\}=: \mathbb Z_2$es sólo el primer grupo de homotopía de$SO(3)$como debe ser en vista de la declaración general que cité anteriormente.

Una representación unitaria de$SO(3)$es también una representación de$SU(2)$a través de la proyección del homomorfismo del grupo de Lie$\pi: SU(2) \to SU(2)/\{I,-I\} = SO(3)$. Entonces, estudiando repeticiones unitarias de$SU(2)$cubre toda la clase de representantes unitarios de$SO(3)$. Estudiemos esas repeticiones.

Considere una representación unitaria$U$de$SU(2)$en el espacio de Hilbert$H$. El subgrupo central$\{I,-I\}$debe estar representado por$U(I)= I_H$y$U(-I)= J_H$, pero$J_HJ_H= I_H$pues, como antes,$J_H= J_H^{-1}= J_H^\dagger$.

Como$J_H$es unitaria y autoadjunta simultáneamente, su espectro debe incluirse en$\mathbb R \cap \{\lambda \in \mathbb C \:|\: |\lambda|=1\}$. Entonces (a) está hecho de$\pm 1$a lo sumo y (b) el espectro es un espectro puntual puro y, por lo tanto, solo surgen características propias adecuadas en su descomposición espectral.

Si$-1$no está presente en el espectro, el único valor propio es$1$y por lo tanto$U(-I)= I_H$. Si solo el valor propio$-1$está presente, en cambio,$U(-I)= -I_H$.

Si la representación es irreductible $\pm 1$no pueden ser simultáneamente valores propios. De lo contrario$H$se dividiría en la suma directa ortogonal de espacios propios$H_{+1}\oplus H_{-1}$. Como$U(-1)=J_H$viaja con todos$U(g)$(porque$-I$esta en el centro de$SU(2)$y$U$es una representación),$H_{+1}$y$H_{-1}$serían subespacios invariantes para toda la representación y está prohibido como$U$es irreductible .

Concluimos que,

si$U$es una representación unitaria irreducible de$SU(2)$, el subgrupo normal discreto$\{I,-I\}$sólo puede ser representado por cualquiera$\{I_H\}$o$\{I_H, -I_H\}$.

Es más:

Ya que$SO(3) = SU(2)/\{I,-I\}$, en el primer caso$U$es también una representación de$SO(3)$. Esto significa que$I = e^{i 4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma} }$y$e^{i 2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 } = -I$ambos se transforman en$I_H$por$U$.

En este último caso, en cambio,$U$no es una verdadera representación de$SO(3)$, justo a la vista de un cartel que aparece después$2\pi$, porque$e^{i 2\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 } = -I$se transforma en$-I_H$y solo$I = e^{i 4\pi \vec{n}\cdot \vec{\sigma}/2 }$se transforma en$I$por$U$.