Buscando una descripción de calidad en lenguaje sencillo del teorema de Wigner-Eckart

Esta pregunta me inspiró a tratar de escribir una introducción conceptual en el artículo de wikipedia . Para ahorrarle la molestia de hacer clic, lo copié a continuación. (Está ligeramente inspirado en lo que @Kostia escribió aquí )

Ejemplo motivador: Elementos de la matriz de operadores de posición para la transición 4d→2s

Digamos que queremos calcular los momentos dipolares de transición para que un electrón pase de un orbital 4d a un orbital 2p de un átomo de hidrógeno, es decir, los elementos de la matriz de la forma$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$, donde r _i es el componente x , y o z del operador de posición , y m ₁ , m ₂ son los números cuánticos magnéticos que distinguen diferentes orbitales dentro de la subcapa 2p o 4d. Si hacemos esto directamente, implica calcular 45 integrales diferentes: hay tres posibilidades para m ₁ (-1, 0, 1), cinco posibilidades para m ₂ (-2, -1, 0, 1, 2) y tres posibilidades para i , entonces el total es 3×5×3=45.

El teorema de Wigner-Eckart permite obtener la misma información después de evaluar solo una de esas 45 integrales ( cualquiera de ellas puede usarse, siempre que sea distinta de cero). Luego, las otras 44 integrales se pueden deducir simplemente usando álgebra, con la ayuda de los coeficientes de Clebsch-Gordan , que se pueden buscar fácilmente en una tabla o calcular a mano o por computadora.

Resumen cualitativo de la prueba

El teorema de Wigner-Eckart funciona porque los 45 cálculos diferentes están relacionados entre sí mediante rotaciones. Si un electrón está en uno de los orbitales 2p, la rotación del sistema generalmente lo moverá a un orbital 2p diferente (generalmente terminará en una superposición cuántica de los tres estados básicos, m = +1,0,-1). De manera similar, si un electrón está en uno de los orbitales 4d, la rotación del sistema lo moverá a un orbital 4d diferente. Finalmente, una declaración análoga es válida para el operador de posición: cuando se gira el sistema, los tres componentes diferentes del operador de posición se intercambian o mezclan efectivamente.

Si comenzamos conociendo solo uno de los 45 valores, digamos que sabemos que$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle = K$—y luego rotamos el sistema, podemos inferir que K es también el elemento de la matriz entre la versión rotada de$\langle 2p,m_1 |$, la versión rotada de$r_i$, y la versión rotada de$| 4d,m_2 \rangle$. Esto da una relación algebraica que involucra a K y algunos o todos los 44 elementos desconocidos de la matriz. Diferentes rotaciones del sistema conducen a diferentes relaciones algebraicas y resulta que hay suficiente información para descifrar todos los elementos de la matriz de esta manera.

(En la práctica, cuando trabajamos con estas matemáticas, generalmente aplicamos operadores de momento angular a los estados, en lugar de rotar los estados. Pero esto es fundamentalmente lo mismo, debido a la estrecha relación matemática entre las rotaciones y los operadores de momento angular ).

En términos de la teoría de la representación

Para enunciar estas observaciones con mayor precisión y probarlas, ayuda invocar las matemáticas de la teoría de la representación . Por ejemplo, el conjunto de todos los orbitales 4d posibles (es decir, los cinco estados m =-2,-1,0,1,2 y sus superposiciones cuánticas ) forman un espacio vectorial abstracto de 5 dimensiones. Rotar el sistema transforma estos estados entre sí, por lo que este es un ejemplo de una "representación de grupo"; en este caso, la representación irreducible de 5 dimensiones ("irrep") del grupo de rotación SU(2) o SO(3) , también llamada "representación spin-2". De manera similar, los estados cuánticos 2p forman un irrep tridimensional (llamado "spin-1"),

Ahora considere los elementos de la matriz$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$. Resulta que estos se transforman por rotaciones según el producto directo de esas tres representaciones, es decir, la representación de espín-1 de los orbitales 2p, la representación de espín-1 de los componentes de r y la representación de espín-2 de los 4d orbitales Este producto directo, una representación de 45 dimensiones de SU(2), no es una representación irreducible, sino que es la suma directade una representación de espín 4, dos representaciones de espín 3, tres representaciones de espín 2, dos representaciones de espín 1 y una representación de espín 0 (es decir, trivial). Los elementos de la matriz distintos de cero solo pueden provenir del subespacio spin-0. El teorema de Wigner-Eckart funciona porque la descomposición del producto directo contiene uno y solo un subespacio de espín 0, lo que implica que todos los elementos de la matriz están determinados por un solo factor de escala.

Además del factor de escala general, calcular el elemento de matriz$\langle 2p,m_1 | r_i | 4d,m_2 \rangle$es equivalente a calcular la proyección del vector abstracto correspondiente (en un espacio de 45 dimensiones) sobre el subespacio spin-0. Los resultados de este cálculo son los coeficientes de Clebsch-Gordan .

Posiblemente (para este propósito) la expresión más simple del teorema de Wigner-Eckhart en lenguaje sencillo es "¿qué otra cosa podría ser?" El movimiento angular del núcleo está descrito por el espín. El operador de espín es un vector. Necesitamos un tensor de segundo rango para la interacción cuadripolar. A partir del operador de giro, solo puede crear un tensor simétrico sin trazas de segundo rango, por lo que lo usa. Este es un ejemplo simple, por supuesto, y (como siempre) los ejemplos simples en la teoría de grupos le permiten obtener la respuesta correcta sin (realmente) saber lo que está haciendo. Sin embargo, este es el "núcleo" de Wigner-Eckhart: solo hay un número finito de posibilidades (que se pueden calcular utilizando la teoría de grupos) para expresar tensores en términos de operadores que describen los estados. Necesitas verificar que tienes todas esas posibilidades, representadas al menos una vez.

Así que esta explicación (¡mi primera publicación en stackexchange!) está basada en el capítulo 4 de "Álgebras de mentira en física de partículas" de H. Georgi.$Q_{ij}$es simétrico, real y sin trazas, tiene 5 grados de libertad independientes. Entonces es posible expresar$Q_{ij}$en una base 'esférica'$Q^s_l$, dónde$s=2$en este caso y$l$toma los valores -2, -1, 0, 1, 2. (Para completar, un operador de tensor esférico que se transforma bajo la representación de espín de SU(2) es un conjunto de operadores tales que:$[J_a,Q^s_l]=Q^s_m[J^s_a]_{ml}$).

El quid del teorema de Wigner-Eckart es que algo así como$Q^s_l |j,m,\alpha>$, que correspondería físicamente a los efectos eléctricos de un átomo que tiene un momento angular, en realidad se comporta matemáticamente como dos kets de momento angular tensados ​​juntos (recuerde agregar el momento angular de las partículas en la mecánica cuántica). En términos de notación, este es su operador de tensor cuadripolar que actúa en algún estado con momento angular total al cuadrado j(j+1), y momento angular z m. Aquí$\alpha$parametriza cualquier otra física que esté ocurriendo en el sistema, por ejemplo, efectos cromodinámicos cuánticos no perturbadores en el núcleo, que son muy difíciles de calcular.

El enunciado del teorema de Wigner-Eckart es que$<J,m',\beta|Q^s_l|j,m,\alpha>=\delta_{m',l+m}<J,l+m|s,j,l,m> * <J,\beta|Q^s|j,\alpha>$.

En el LHS, tiene la amplitud de probabilidad de medir$Q^s_l|j,m,\alpha>$tener momento angular total J(J+1), z momento angular$m'$y con 'nueva' física$\beta$(que puede ser bastante complicado). En el RHS, el teorema de Wigner-Eckart dice que si conoces la amplitud de probabilidad$<J,\beta|Q^s|j,\alpha>$, que se puede calcular para CUALQUIERA de sus$Q^s_l$(calculado significa que un experimentador ha realizado una medición o algún estudiante graduado que trabaja duro hizo el cálculo), luego usa solo la teoría de grupos que conoces$<J,m',\beta|Q^s_l|j,m,\alpha>$para todos los demás$l$. Todo lo que necesita hacer es calcular (o buscar en tablas)$<J,l+m|s,j,l,m>$. Este término tiene su origen en el quid del teorema de que el operador tensor multiplicado por el ket se comporta como dos kets, lo que puede describirse en base a momentos angulares individuales |s,j,l,m> o en base a momentos angulares combinados$|J,l+m>$.

Todo esto surge porque el$Q^s_l$Los operadores forman una representación irreducible, es decir, de algún vector de mayor peso$Q^2_2$en tu ejemplo, puedes obtener todos los demás$Q^2_l$simplemente aplicando el operador de descenso. Así que todos están relacionados. Así, el término$<J,\beta|Q^s|j,\alpha>$que contiene toda la física desagradable es constante universal dentro de una representación irreducible dada. Así que no necesitamos calcularlo para cada$l$, solo uno de ellos (el más fácil).

¡Espero que esto ayude!

Intentare una respuesta. El teorema, como sabrá, se basa en la teoría de la representación .

La teoría de la representación de los grupos de Lie juega un papel importante porque establece que los observables se pueden construir a partir de un álgebra de generadores del grupo .

Los operadores de momento angular son los generadores del grupo esférico (si puedo decirlo)

Entonces, cada operador de momento angular transforma un estado/observable a través de la esfera que es el grupo/variedad de Lie subyacente de un sistema esféricamente simétrico. Y una transformación compuesta es una combinación lineal de transformaciones más simples.

Al igual que el operador de momento genera traducciones de espacio (del sistema) y el operador hamiltoniano genera traducciones de tiempo (del sistema)

Creo que la explicación más simple, en el lenguaje más sencillo, es que el teorema de Wigner-Eckhart es una expresión de la mecánica cuántica de la conservación del momento angular.

Esto puede no ser evidente, pero es difícil hacerlo más simple.