Sistemas lineales y no lineales

Entonces, si alguien puede ayudarme a obtener la esencia de los sistemas lineales y diferenciar entre uno no lineal

Considere un sistema simple como una caja negra con una entrada (estímulo)$x(t)$y una salida (respuesta)$y(t)$.

Dejar$y_1(t)$ser la salida dada una entrada$x_1(t)$y$y_2(t)$ser la salida dada una entrada$x_2(t)$.

La pregunta ahora es cuál es la salida.$y_3(t)$dada la entrada

$$x_3(t) = a_1x_1(t) + a_2x_2(t)$$

Una posibilidad es que la salida sea

$$y_3(t) = a_1y_1(t) + a_2y_2(t)$$

y luego este sistema es un sistema lineal (esto más o menos define un sistema lineal). Si esto no se cumple, entonces el sistema no es un sistema lineal.

Vamos a trabajar algunos ejemplos para ayudarte a entender la esencia de esto. Primero, deja$y(t) = Ax(t)$y luego

$$y_1(t) = Ax_1(t)$$

$$y_2(t) = Ax_2(t)$$

$$a_1y_1(t) + a_2y_2(t) = A\left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right)$$

$$y_3(t) = Ax_3(t) = A\left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right)$$

y entonces este es un sistema lineal. Pero, algo sorprendente,$y(t) = Ax(t) + B$no es un sistema lineal:

$$y_1(t) = Ax_1(t) + B$$

$$y_2(t) = Ax_2(t) + B$$

$$a_1y_1(t) + a_2y_2(t) = A\left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right) + (a_1 + a_2)B$$

$$y_3(t) = Ax_3(t) + B = A\left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right) + B$$

No es sorprendente que el sistema$y(t) = x^2(t)$no es un sistema lineal:

$$y_1(t) = x^2_1(t)$$

$$y_2(t) = x^2_2(t)$$

$$a_1y_1(t) + a_2y_2(t) = a_1x^2_1(t) + a_2x^2_2(t)$$

$$y_3(t) = x^2_3(t) = \left(a_1x_1(t) + a_2x_2(t)\right)^2 = a^2_1x^2_1(t) + a^2_2x^2_2(t) + 2a_1a_2x_1(t)x_2(t)$$

Finalmente, veamos$y(t) = \frac{dx}{dt}$:

$$y_1(t) = \frac{dx_1}{dt}$$

$$y_2(t) = \frac{dx_2}{dt}$$

$$a_1y_1(t) + a_2y_2(t) = a_1\frac{dx_1}{dt} + a_2\frac{dx_2}{dt}$$

$$y_3(t) = \frac{dx_3}{dt} = a_1\frac{dx_1}{dt} + a_2\frac{dx_2}{dt}$$

y así, un diferenciador es un sistema lineal.

Estos ejemplos deberían ser de ayuda suficiente para obtener una "imagen" clara de lo que implica el sistema lineal de etiquetas .

Esto puede sonar algo circular, pero la esencia es esta:

un sistema lineal es aquel que obedece al sistema de superposición,

por definición del primero. Esto significa que el principio de superposición se cumple en todos los sistemas lineales, pero también significa que esta es una propiedad relativamente trivial, y cambia la mayor parte del trabajo para determinar si un sistema dado es lineal o no.

En términos más específicos, esto no tiene nada que ver con el orden del operador diferencial$\mathcal L$que promulga las ecuaciones de movimiento del sistema, pero solo con su linealidad: es decir, exigimos que

$$\mathcal L (x+y) = \mathcal L(x) + \mathcal L(y)$$ para todos los pares de soluciones potenciales $x,y$. Esto descarta ciertos sistemas (como, por ejemplo, $\mathcal L(x) = \ddot x(t) +x(t)^3$, para el cual la relación anterior no se cumple), y es en la comprobación de esta linealidad donde se produce la mayor parte del trabajo.