¿Existe una prueba formal para el teorema de superposición?

Hay algunas partes clave de física y matemáticas para entender aquí, pero uno debe tener mucho cuidado para evitar producir un argumento circular. El concepto clave, creo, es el de un

• elemento de circuito lineal , para el cual la salida es precisamente proporcional a la entrada.

El significado preciso de 'entrada' y 'salida' depende del dispositivo preciso, pero esto no importa tanto. Para un condensador lineal, si duplica la carga en las placas, duplica la diferencia de potencial entre ellas. Para una resistencia lineal, la caída de potencial entre los terminales es proporcional a la corriente que la atraviesa. Para un inductor lineal, es proporcional a la tasa de cambio de corriente.

Es importante señalar que no todos los elementos del circuito son lineales . Un diodo, por ejemplo, responderá de manera diferente si cambia su polaridad. Una bombilla aumentará su resistencia a medida que aumente la corriente. Los inductores con núcleo de hierro muestran histéresis, por lo que su inductancia es diferente dependiendo de si su magnetización aumenta o disminuye. En general, la mayoría de los elementos del circuito mostrarán cierta no linealidad si los maneja lo suficientemente fuerte (incluso si "lo suficientemente fuerte" es "tan difícil que lo fríes", que también es un comportamiento no lineal).

La restricción a los circuitos lineales, entonces, es parte definición y parte física. Está descartando explícitamente, para su circuito, aquellos elementos que se comportan de forma no lineal. Si le entrego una placa de circuito con un circuito complicado impreso y desea decidir si es lineal o no, debe desmontarla y medir las curvas de respuesta de todos sus componentes. ¿Son todos lineales? ¡Excelente! tu circuito es lineal.

Por lo tanto, cuando comienzas tu prueba con "let$C$ser un circuito lineal...", está asumiendo que este paso (que es donde está la mayor parte de la física) ya se ha completado. Por lo tanto, esta es una suposición segura para usar en una prueba, y tiene el precio de restringir la validez del resultado sólo para aquellos circuitos que han sido verificados empíricamente para ser lineales.

Esto es esencialmente todo lo que necesitas. Conoces las ecuaciones (¡lineales!) que conectan la (carga/corriente/velocidad de cambio de la corriente) en cada elemento con la diferencia de potencial a través de él, y puedes usar las leyes de Kirchhoff (que encarnan la conservación de carga en cada nodo y la conservación de energía a lo largo cada bucle y, por lo tanto, mantener siempre) para vincularlos. Naturalmente, esto dará como resultado un sistema lineal entre sus fuentes y su salida. Este sistema lineal tiene la propiedad matemática de que la solución final es la suma de lo que se obtendría si cada una de las fuentes se encendiera por sí sola a su vez, que es lo que dice el teorema de superposición, como se indica en Wikipedia ., estados. Si su sistema tiene la propiedad física correspondiente al supuesto de linealidad matemática, también tendrá la propiedad física que corresponde al resultado matemático.

La superposición es esencialmente un concepto matemático. La inspección de un fenómeno físico y la elección del modelo matemático para representarlo, definen las relaciones matemáticas a las que se sugiere que está sujeto el fenómeno, y la superposición puede ser una de ellas.

Por ejemplo, cuando decimos que un capcitor sigue la regla matemática$I = C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$, y que un circuito RC sigue la ODE$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}V(t)+\frac{1}{RC}V(t) = \frac{1}{R}V_{\text{in}}(t)$, entonces "automáticamente" obtenemos la propiedad de superposición para$V_{\text{in}}(t)$gracias a la naturaleza matemática de las EDO.

Pero, si se tiene en cuenta que un condensador no es lineal (es decir, no sigue exactamente$I = C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}$) sino más bien una forma no lineal más compleja , entonces superposición de$V_{\text{in}}(t)$no aguantaría.

Así, la "demostración de la superposición" está en realidad dentro del ámbito de las matemáticas, mientras que la elección del modelo matemático para representar un fenómeno físico está sujeta a estudios teóricos y/o experimentales.

Hay muchas pruebas, el problema es que se vuelven demasiado matemáticas y, por lo tanto, terminan distrayendo a los estudiantes de ingeniería eléctrica de la ingeniería eléctrica básica.

Las pruebas muy rigurosas implican asumir que sus circuitos se pueden representar como gráficos planos. Supuestos adicionales que incluyen ausencia de cortocircuitos, fuentes de voltaje y corriente independientes únicamente. Las pruebas que involucran fuentes dependientes se vuelven complicadas.

En cualquier caso, para hacer la prueba completa, establece KVL y KCL (análisis de nodos, análisis de malla) y termina con el sistema lineal de ecuaciones necesario para resolver el circuito.

Por supuesto, puede resolver la ecuación lineal utilizando técnicas elementales de álgebra lineal, pero si presta mucha atención, verá que las ecuaciones siempre tienen la forma: combinación lineal de voltajes de nodo = combinación lineal de fuentes de voltaje y fuentes de corriente independientes

(O, por supuesto, combinación lineal de corrientes de rama) = ...

(preste atención al hecho de que los coeficientes para las fuentes de voltaje y las fuentes de corriente en las ecuaciones anteriores son simplemente funciones algebraicas de resistencias SOLAMENTE)

... desde aquí, también debería ser fácil ver que podemos resolver circuitos simplemente activando una fuente a la vez (y manteniendo todas las demás fuentes configuradas en cero), y luego sumando los "efectos"

así que para resumir: lo que estamos haciendo es asumir que existe un sistema lineal de ecuaciones, que este es un sistema que tiene tantas incógnitas como ecuaciones (sin especificar más o menos), pero no vamos a escribir este sistema. y lo resolvemos, en su lugar, establecemos todos los V e I en cero, y retrocedemos un V o I a la vez y resolvemos las corrientes / voltajes de nodo a la vez.