Sistema resorte-masa con constante de resorte compleja

Supongamos un sistema que contiene una masa$m$sobre una superficie sin fricción, unido por un resorte a una pared. La constante del resorte es compleja, dada por$K = K_1 + K_2i$, con$K_1 \gg K_2$. Escriba la ecuación de movimiento y demuestre que tiene la dinámica de un oscilador amortiguado.

Entonces, la segunda ley de Newton:

$$m\ddot{x} = -(K_1+K_2i)x \Leftrightarrow \ddot{x} = -\frac{K_1+K_2i}{m}x$$ Resolver $x = e^{\lambda t}$, obtenemos $$\lambda^2 = -\frac{K_1 + K_2i}{m} \Leftrightarrow \lambda = \pm\frac{1}{\sqrt{m}}\sqrt{-(K_1+K_2i)}$$ $$\lambda = \pm\sqrt{\frac{K_1}{m}}i\sqrt{1+\frac{K_2}{K_1}i}\approx \pm\sqrt{\frac{K_1}{m}}i\left(1+\frac{K_2}{2K_1}i\right) = \pm\sqrt{\frac{K_1}{m}}i\mp\sqrt{\frac{K_1}{m}}\frac{K_2}{2K_1}$$ Aquí es donde estoy atascado. Como las raíces no son conjugadas complejas, no obtenemos la solución. $$x(t) = e^{-\sqrt{\frac{K_1}{m}}\frac{K_2}{2K_1}t}\left(A\cos\left(\sqrt{\frac{K_1}{m}}t\right) + B\sin\left(\sqrt{\frac{K_1}{m}}t\right)\right)$$

Que es lo que me guiaron a encontrar. Las soluciones serán complejas, lo cual no es físico.

¿Alguna ayuda?