Comprender la oscilación transversal en sistemas de 1 masa y 2 resortes

Creo que estás malinterpretando lo que quieren decir con

Si los resortes se estiran inicialmente muy poco de su longitud relajada

Lo considera como "gran desplazamiento del equilibrio", pero creo que significa "ambos resortes están bajo tensión en equilibrio". En ese caso hay una tensión significativa.$T$sin desplazamiento, y para pequeños desplazamientos$y$la fuerza restauradora viene dada aproximadamente por

$$F = T \sin\theta \approx T ~\frac{y}{a}$$

Porque$T$no cambiará mucho si hubo bastante tensión inicial, el sistema será lineal.

Sin embargo, si hay poca tensión inicial, entonces la fuerza de restauración se debe principalmente al estiramiento adicional del resorte. En el caso de tensión inicial cero, la fuerza restauradora (para pequeños desplazamientos) viene dada por

$$\begin{align}\\ F &= k\left(\sqrt{y^2+a^2}-a\right)\sin\theta\\ &=ka\left(\sqrt{1+\frac{y^2}{a^2}}-1\right)\frac{y}{a}\\ &\approx\frac{ky^3}{2a^2} \end{align}$$

Entonces, cuando el aumento de tensión debido al desplazamiento lateral es significativo, el movimiento se vuelve no lineal.

ACTUALIZAR

Podemos ver esto tanto para desplazamientos horizontales como verticales. Suponga que la longitud sin estirar de los resortes es$L_0$, y la longitud estirada (en equilibrio) es$L\gg L_0$. Si desplazamos una pequeña cantidad$dx$horizontalmente, y una pequeña cantidad$dy$verticalmente (ambos$\ll LL$), entonces podemos calcular las fuerzas horizontales y verticales sobre la masa.

Primero calculamos la nueva longitud del resorte. Esto será

$$L_1 = \sqrt{(L+dx)^2+dy^2}$$

para el resorte de la izquierda, y

$$L_2 = \sqrt{(L-dx)^2+dy^2}$$

para el resorte de la derecha.

La fuerza neta sobre la masa está dada por las componentes horizontal y vertical de la tensión en el resorte.

Para la componente horizontal, notamos que

$$F_x = T_1 \cos\alpha_1 - T_2\cos\alpha_2$$

para ángulos pequeños esto se simplifica a

$$F_x = T_1 - T_2\\ = kL\left[\left(\left((1+\frac{dx}{L}\right)^2+\left(\frac{dy}{L}\right)^2\right)^{1/2}-\left(\left((1-\frac{dx}{L}\right)^2+\left(\frac{dy}{L}\right)^2\right)^{1/2}\right]\\ \approx 2kdx$$

Para la componente vertical de la fuerza, aproximamos la suma de$T_1$y$T_2$, y encontrar que varía sólo con órdenes superiores de$dx$y$dy$- así lo consideramos ($T_1+T_2$) constante para pequeños desplazamientos. la fuerza vertical$F_y = 2T\sin\alpha\approx 2T\frac{dy}{L}$entonces dependerá sólo de$dy$y no en$dx$. Entonces, las oscilaciones horizontales y verticales serán independientes y lineales.

Consulte la conferencia en http://www.unizor.com en Physics 4 Teens > Waves > Transverse Waves > Musical Strings 1 . Modela una cuerda musical (como la de un violín) con un modelo que describas. Explica por qué las oscilaciones con una pequeña desviación vertical están cerca de la armónica. La frecuencia angular$\omega$de estas oscilaciones es

$$\omega^2 = \frac{2κ}{[m(1+L/l)]}$$ dónde
$k$- elasticidad de una cuerda,
$m$- masa,
$L$- longitud en estado neutro,
$l$- estiramiento inicial para crear tensión.

En particular, se ve a partir de esta fórmula que cuanto mayor sea la tensión inicial (mayor estiramiento inicial$l$), cuanto mayor sea la frecuencia angular$\omega$, es decir, el tono más alto de un sonido producido por una cuerda.