Sistema dinámico - Ecuación de Duffing

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Sistema dinámico - Ecuación de Duffing

Matemáticas
sistemas-dinamicos
ecuaciones diferenciales ordinarias

usuario450248

Tengo problemas con el siguiente problema:

Considere el siguiente sistema dinámico (ecuación de Duffing).
$\ddot{X} + X + ϵ X^{3} = 0$ $\ddot{x}+x+\epsilon x^3 =0$

a. Reescriba este sistema de segundo orden como un sistema bidimensional.

b. Para $\epsilon>0$ , demuestre que el sistema tiene un solo punto fijo y es un centro no lineal. Dibuja su retrato de fase.

C. Para $\epsilon<0$ , demuestre que las trayectorias cercanas al origen son cerradas. ¿Están cerradas las trayectorias alejadas del origen? Dibuje el retrato de fase.

Pude hacer la parte a:

\dot{X} = y

$\dot{x}=y$

\dot{y} = - ϵ X^{3} - X

$\dot{y}=-\epsilon x^3-x$

Todavía no he mirado la parte c, así que por ahora esperaba poder obtener ayuda con la parte b.

Este es mi trabajo para la parte b:

\dot{X} = 0 \Rightarrow y = 0

$\dot{x}=0 \Rightarrow y=0$

\dot{y} = 0 \Rightarrow - ϵ X^{3} - X = 0 \Rightarrow X = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{ϵ}}

$\dot{y}=0 \Rightarrow -\epsilon x^3-x=0 \Rightarrow x=0, \pm \frac{1}{\sqrt\epsilon}$

Entonces los puntos fijos son $(0,0), (\pm \frac{1}{\sqrt\epsilon},0)$

En primer lugar, en la pregunta dice que se supone que debo mostrar que el sistema tiene un único punto fijo, pero parece que he encontrado tres puntos fijos. En segundo lugar, no sé qué quieren decir con "no lineal" y cómo mostraría que el punto fijo es un centro no lineal.

Agradecería mucho si alguien pudiera ayudarme!

Respuestas (1)

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lutz lehmann · Answer 1

b) para $ϵ>0$ de hecho, solo hay una solución real para

0 = - X - ϵ X^{3} = - X (1 + ϵ X^{2}) .

$0=-x-ϵx^3=-x(1+ϵx^2).$

c) Multiplicar con $\dot x$ e integre para obtener la forma de la energía de un sistema mecánico conservativo con un polinomio de cuarto grado (bicuadrático) como energía potencial.

¡Oh, claro, por supuesto que las soluciones complejas no se consideran aquí! ¡Gracias por eso! ¿Podría decirme qué quieren decir con centro no lineal?
No, no realmente como la linealización. $\dot x=y$ , $\dot y=-x$ es perfectamente regular. Por supuesto, la solución exacta es cuantitativamente diferente de la solución de la linealización, pero cualitativamente es la misma. Podría simplemente referirse al hecho de que la EDO no es lineal.
@LutzL "Centro no lineal" es un atajo para "un sistema de equilibrio no lineal que tiene dos valores propios imaginarios y está rodeado de trayectorias cerradas". Así que sí, tienes razón :)

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usuario450248

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lutz lehmann

usuario450248

lutz lehmann

evgeny

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