Usando la definición de δδ\delta-εε\varepsilon para probar la estabilidad del sistema autónomo

Question

Usando la definición de δδ\delta-εε\varepsilon para probar la estabilidad del sistema autónomo

Matemáticas
epsilon-delta
análisis real
sistemas-dinamicos
estabilidad-en-odas
ecuaciones diferenciales ordinarias

Demerzel

Quiero probar que un punto de equilibrio de un sistema autónomo simple es estable usando el $\delta$ - $\varepsilon$ definición. Por 'sistema autónomo' me refiero a un sistema que no depende explícitamente del tiempo, es decir, $f(t,x)=f(x)$ .

Mi criterio de estabilidad (en el sentido de Lyapunov) es:

\forall ε > 0, \exists d > 0 : ‖ X (0) ‖ < d ⟹ \forall t \in R_{+} ‖ X (t) ‖ < ε

$\forall \varepsilon > 0,\;\exists \delta > 0: \|x(0)\| < \delta \implies \forall t \in \mathbb{R}_+ \; \|x(t)\|<\varepsilon$

Considere un sistema 1D simple de la forma:

\dot{X} = - X + X^{2}

$\dot{x}=-x+x^2$ que tiene dos puntos de equilibrio, a saber

x_{e, 1} = 0

$x_{e,1}=0$ y

x_{e, 2} = 1

$x_{e,2}=1$ , al resolver

\dot{x} = 0

$\dot{x}=0$ .

quiero mostrar eso $x_{e,1}$ es estable encontrando un $\delta=\delta(\varepsilon)$ que satisface mis criterios de estabilidad. Al graficar el sistema con varias condiciones iniciales sé que $x_{e,1}$ también es atractivo, pero ¿adónde debo ir desde aquí? ¿Cómo podría encontrar un derecho? $\delta(\varepsilon)$ ?

lutz lehmann

Esta definición de estabilidad tiene más sentido en dimensiones más altas, por ejemplo en 2D con la métrica euclidiana y un sistema ODE que tiene espirales "elípticas" hacia el punto de equilibrio, de modo que el radio a lo largo de una trayectoria no es monótono, oscila con amplitud decreciente.

Respuestas (1)

Usando la definición de δδ\delta-εε\varepsilon para probar la estabilidad del sistema autónomo

Esta definición de estabilidad tiene más sentido en dimensiones más altas, por ejemplo en 2D con la métrica euclidiana y un sistema ODE que tiene espirales "elípticas" hacia el punto de equilibrio, de modo que el radio a lo largo de una trayectoria no es monótono, oscila con amplitud decreciente.

AVK · Answer 1

La solución al problema del valor inicial

\dot{X} = - X + X^{2}, X (0) = X_{0}

$\dot{x}=-x+x^2,\quad x(0)=x_0$ es

X (t) = \frac{1}{1 - (1 - 1 / X_{0}) {mi}^{t}} .

$x(t)=\frac1{1-(1-1/{x_0})e^t}.$ su derivada es

\dot{X} (t) = \frac{(1 - 1 / X_{0}) {mi}^{t}}{(1 - (1 - 1 / X_{0}) {mi}^{t})^{2}} .

$\dot x(t)= \frac{(1-1/x_0)e^t}{(1-(1-1/{x_0})e^t)^2}.$ Tenga en cuenta que el denominador de esta fracción no puede ser igual a cero si

t \geq 0

$t\geq 0$ .

Dejar $x_0\in(-1,1)\setminus\{0\}$ . Tenemos $1-\frac1{x_0}<0$ si $x_0\in(0,1)$ y $1-\frac1{x_0}>0$ si $x_0\in(-1,0)$ , de este modo $\dot x(t)$ es positivo ( $x(t)$ es monótonamente creciente) si $x_0\in(-1,0)$ y $\dot x(t)$ es negativo ( $x(t)$ es monótonamente decreciente) si $x_0\in(0,1)$ . Dado que la solución al problema de valor inicial no puede cruzar el punto de equilibrio $x=0$ , su norma $\|x(t)\|$ disminuye monótonamente para todos $t\ge 0$ y $x_0\in(-1,1)\setminus\{0\}$ . Esto significa que podemos elegir $\delta(\varepsilon)= \min(\varepsilon,1)$ en la definición de estabilidad.

Usando la definición de δδ\delta-εε\varepsilon para probar la estabilidad del sistema autónomo

Demerzel

lutz lehmann

Respuestas (1)

AVK

Una ecuación de Euler-Lagrange

Función energética del péndulo

¿La estabilidad global de Lyapunov implica un equilibrio único?

Requisito de estabilidad de Lyapunov en estabilidad asintótica

Estabilidad global vs Estabilidad asintótica global

Bonitos corolarios del teorema de Poincaré-Bendixson

Función cuyo gradiente es de norma constante en sus conjuntos de nivel

Aplicación del teorema de Poincaré-Bendixson

δδ\delta-response para desafiar el limx→101[[x]]=110limx→101[[x]]=110\lim_{x \to 10} \frac{1}{[[x]]} = \frac {1}{10} con ϵ=12ϵ=12\epsilon=\frac{1}{2}

Comprender la prueba ε−δε−δ\varepsilon-\delta de limx→3f(x)=9limx→3f(x)=9\underset{x\to 3}{\lim}{f(x)}=9 con f(x)=x2f(x)=x2f(x)=x^2