Bonitos corolarios del teorema de Poincaré-Bendixson

Question

Bonitos corolarios del teorema de Poincaré-Bendixson

Matemáticas
sistemas-dinamicos
ecuaciones diferenciales ordinarias

Seirios

Estoy interesado en las aplicaciones del teorema de Poincaré-Bendixson no relacionadas (explícitamente) con las EDO.

Dejar $X \in C^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2)$ , $(t_0,x_0) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$ y $x \in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R}^2)$ una solución a la IVP $\begin{cases}x'=X(x) \\ x(t_0)=x_0\end{cases}$

El $\omega$ -límite de $x_0$ (o de $x$ ) es $\omega(x_0)=\{ y \in \mathbb{R}^2 : \exists (t_n) \ \text{such that} \ t_n \to + \infty, \ x(t_n)\to y \}$ .

Teorema (Poincaré-Bendixson)

Si $\omega(x_0)$ es no vacío, compacto y no contiene ningún cero de $X$ , entonces $\omega(x_0)$ es una órbita periódica.

Algunas consecuencias:

Teorema ( $C^1$ -versión del teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión dos)

Dejar $f : \overline{D} \to \overline{D}$ ser un $C^1$ función del disco de la unidad cerrada a sí mismo. Entonces $f$ tiene un punto fijo.

Teorema ( $C^1$ -versión del teorema de la bola peluda en dimensión dos)

A $C^1$ -campo de vectores en $\mathbb{S}^2$ tiene un cero

¿Conoces otras consecuencias del teorema de Poincaré-Bendixson no relacionadas con las ecuaciones diferenciales? Por ejemplo, ¿se puede demostrar así el teorema fundamental del álgebra?

no linealismo

Me interesaría ver cómo llegar al Teorema de la bola peluda de Poincare Bendixson. Tiene una referencia ?

Seirios

@nonlinearism: no tengo referencia, pero solo observe que la prueba del teorema de Poincaré-Bendixson en

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ se puede adaptar en

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ ; entonces, por compacidad de

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ , cualquier

ω

$\omega$ -límite no está vacío, por lo que un

ω

$\omega$ -límite contiene un cero o es una órbita periódica. Sin embargo, el dominio delimitado por una órbita periódica contiene necesariamente un cero.

Zaragoza

@Seirios También estoy interesado en las aplicaciones del teorema de Poincaré-Bendixson que no tienen nada que ver con ODE. ¿Encontraste alguno más o tienes alguna referencia donde pueda encontrarlos? Por favor... Me sería de mucha utilidad. gracias de antemano

Respuestas (1)

Bonitos corolarios del teorema de Poincaré-Bendixson

Me interesaría ver cómo llegar al Teorema de la bola peluda de Poincare Bendixson. Tiene una referencia ?
@nonlinearism: no tengo referencia, pero solo observe que la prueba del teorema de Poincaré-Bendixson en $\mathbb{R}^2$ se puede adaptar en $\mathbb{S}^2$ ; entonces, por compacidad de $\mathbb{S}^2$ , cualquier $\omega$ -límite no está vacío, por lo que un $\omega$ -límite contiene un cero o es una órbita periódica. Sin embargo, el dominio delimitado por una órbita periódica contiene necesariamente un cero.
@Seirios También estoy interesado en las aplicaciones del teorema de Poincaré-Bendixson que no tienen nada que ver con ODE. ¿Encontraste alguno más o tienes alguna referencia donde pueda encontrarlos? Por favor... Me sería de mucha utilidad. gracias de antemano

Seirios · Answer 1

Respondo a mi segunda pregunta, demostrando el teorema fundamental del álgebra a partir del teorema de Poincaré-Bendixson:

Supongamos por contradicción que existe un polinomio $P \in \mathbb{C}[X]$ tal que $P(z) \neq 0$ para todos $z \in \mathbb{C}$ . Entonces la función $z \mapsto 1/P(z)$ define un campo vectorial $X$ en $\mathbb{C}$ . Claramente, existe $R>0$ tal que

\frac{1}{| PAG (z) |} < | z | para todos | z | = R .

$\frac{1}{|P(z)|} < |z| \ \ \text{for all} \ |z|=R.$

Por lo tanto, si $B$ denota la bola cerrada de radio $R$ centrado en $0$ , $X$ se define en $B$ y apunta hacia adentro $\partial B$ : $B$ es estable bajo el flujo de $X$ . Finalmente, es suficiente aplicar el teorema de Poincaré-Bendixson para encontrar un ciclo límite (por compacidad, un $\omega$ -el límite no puede estar vacío); pero un ciclo límite (como una curva de Jordan) siempre contiene un punto fijo (ver por ejemplo aquí ), una contradicción (claramente, $X$ es un campo vectorial que no desaparece).

¿Cómo es cierto que todos los vectores en $\partial B$ esta apuntando hacia adentro??
Como se mencionó, porque $B$ es estable bajo el flujo de $X$ . Si algún vector en $\partial B$ está apuntando hacia afuera, entonces el punto correspondiente se enviaría afuera $B$ por el flujo

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