Aplicaciones del teorema de Poincaré-Bendixson

Permítanme intervenir con una sorprendente aplicación en topología, originalmente debida a Smale.

Primero, un ejercicio: dejar$I = [0, 1]$sea ​​un intervalo cerrado y considere$\mathrm{Diff}_\partial(I)$, el grupo de autodifeomorfismos de$I$fijando el límite$\partial I = \{0, 1\}$puntualmente Hay una manera obvia de hacer de esto un grupo topológico, donde exigimos que dos difeomorfismos estén cerca si están cerca de derivadas de todos los órdenes. Entonces$\mathrm{Diff}_{\partial}(I)$es contraible.

Aquí hay un seguimiento más difícil: dejar$D^n$denota el cerrado$n$-disco y esta vez vamos$\mathrm{Homeo}_\partial(D^n)$sea ​​el grupo topológico de auto- homeomorfismos de$D^n$fijación$\partial D^n$puntualmente, siendo la topología$C^0$-topología. Entonces$\mathrm{Homeo}_\partial(D^n)$también es contraible. (Aquí hay una idea que puede tratar de precisar: dado un homeomorfismo$f : D^n \to D^n$fijando el límite, necesitamos construir un camino canónico al homeomorfismo de identidad, en el espacio$\mathrm{Homeo}_\partial(D^n)$; así que encuentra una homotopía de$f$a la identidad donde cada nivel es un homeomorfismo, también llamado isotopía. Una forma de hacerlo es primero asegurarse$f(0) = 0$por una isotopía, y luego considere$D^n$como foliada por las esferas concéntricas alrededor del origen. Aplicar$f$se moverá salvajemente alrededor de las hojas de esta foliación, pero en la hoja más externa$\partial D^n$, es identidad, así que en particular$f$conserva esta hoja. Usando esto como un pivote, "peine" la foliación desordenada hacia adentro mediante un truco de interpolación lineal y haga que el "desorden" desaparezca en el punto$0$, para que al final te quede la misma foliación que antes.)

Si ha descubierto con éxito el seguimiento, se dará cuenta de que lo anterior, conocido como el truco de Alexander, nunca podría haber funcionado si empezáramos con$\mathrm{Diff}_\partial(D^n)$, porque cualquier apariencia de diferenciabilidad se perderá en el origen donde todo lo salvaje se encoge. Sin embargo, tenemos:

Teorema (Smale):$\mathrm{Diff}_\partial(D^2)$es contraible.

Aquí hay un bosquejo aproximado de la prueba original de Smale. Primero, uno puede tomar$I^2$en lugar de$D^2$y enfóquese solo en los difeomorfismos que son identidad en un vecindario de collar no especificado del límite; estos se ven fácilmente como equivalentes de homotopía débil. Así que elige tal$f : I^2 \to I^2$, y solo por conveniencia extender$f$por identidad a$f : \Bbb R^2 \to \Bbb R^2$. Debemos llegar a una isotopía canónica entre$f$e identidad, a través de difeomorfismos apoyados en un cuadrado un poco más pequeño en$I^2$.

La idea principal es considerar el campo vectorial$X = f_*(\partial/\partial x)$, que es un campo vectorial distinto de cero que concuerda con$\partial/\partial x$fuera de un cuadrado un poco más pequeño en$I^2$. Entonces$f$se puede recuperar de$X$como$f(x, y) = \Phi^x_X(0, y)$. Sucede, ahora, que cualquier campo vectorial arbitrario distinto de cero$X$que está de acuerdo con$\partial/\partial x$fuera de un cuadrado un poco más pequeño en$I^2$será de esta forma. Para ver esto, el primer paso es probar cada línea de flujo de$X$que emana de un punto de$0 \times I$sale por un único punto de$1 \times I$tiempo infinito. Si no, elija una línea de flujo infractora$\gamma$. Entonces, por el teorema de Poincare-Bendixson, el conjunto de límites de tiempo de avance de$\gamma$es (1) un punto fijo, (2) un grupo de líneas de flujo homoclínicas/heteroclínicas disjuntas que van entre puntos fijos, o (3) una línea de flujo periódica. (1) y (2) son imposibles como$X$no se desvanece en ninguna parte; si (3) sucede, entonces la línea de flujo periódica atrapa un dominio de Jordan en$\Bbb R^2$, y el flujo de$X$es un autodifeomorfismo de este disco topológico, que debe tener un punto fijo, de nuevo una contradicción. Esto prueba la afirmación. Singularidad del punto en el que toca$1 \times I$es obvio ya que$X = \partial/\partial x$en un barrio de$1 \times I$.

A continuación, denote para cualquier$(0, y) \in 0 \times I$el tiempo de golpe$\tau_X(y)$ser el tiempo que tarda la línea de flujo de$X$a partir de$(0, y)$alcanzar$1 \times I$. Entonces$f(x, y) = \Phi^{\tau_X(y)}_X(0, y)$es un difeomorfismo de$\Bbb R^2$, excepto que no será identidad fuera de un cuadrado más pequeño en$I^2$como el flujo de$X$podría escalar en el$x$- y$y$-direcciones. Esto es fácilmente reparable; esencialmente la razón es la contractibilidad de$\mathrm{Diff}_\partial(I)$, donde se toma$I$ser uno de los cuatro bordes de$I^2$.

Esta espectáculos$\mathrm{Diff}_\partial(D^2)$es la homotopía equivalente al espacio$\mathcal{S}$de campos vectoriales cero en ninguna parte en$I^2$que está de acuerdo con$\partial/\partial x$en un barrio de collar de$\partial I^2$, que es lo mismo que el subespacio del espacio de mapas$\phi : I^2 \to \Bbb R^2 \setminus \{0\}$tal que$\phi \equiv (1, 0)$en un barrio de collar de$\partial I^2$. Levantamiento de mapas a la cubierta universal de$\Bbb R^2 \setminus \{0\}$y haciendo una homotopía recta apropiadamente suavizada, obtenemos que$\phi$es canónicamente homotópico al mapa constante a$(1, 0)$. Esto prueba una contracción de$\mathcal{S}$al campo vectorial$\partial/\partial x$, por eso$\mathrm{Diff}_\partial(D^2) \simeq \mathcal{S}$es contraible.$\blacksquare$

Smale conjeturó y Hatcher demostró que$\mathrm{Diff}_\partial(D^3)$también es contraible. En dimensiones superiores tales cosas son en general falsas, debido a la existencia de esferas exóticas. "A 50-Year View of Diffeomorphism Groups" de Hatcher podría ser una buena introducción a lo que se conoce. Aprendí la prueba anterior del excelente libro de Sanders Kuper "Lectures on Diffeomorphism Groups Of Manifolds", donde se pueden encontrar los detalles restantes del boceto.