Confusión sobre el teorema de Poincaré-Bendixson

Estas dos versiones del teorema de Poincaré-Bendixson no se contradicen entre sí. En cambio, creo que pasaste por alto algunas de las hipótesis.

El primer teorema te dice que un subconjunto compacto invariante positivamente del plano de fase siempre contiene al menos una órbita cerrada, siempre que no haya puntos fijos en él (o siempre que tenga solo un nodo inestable o un punto espiral en su interior ) . Si bien la prueba de este hecho se basa en la topología de$\mathbb{R}^2$mucho, la idea detrás de su formulación es fácil de entender: si una trayectoria queda atrapada en un subconjunto compacto del plano de fase que no contiene puntos fijos estables, entonces no tendría más que acercarse a un ciclo límite.

El segundo teorema se basa en diferentes hipótesis:$R$sigue siendo un subconjunto compacto y positivamente invariante del plano de fase, pero ahora no contiene ninguna solución periódica. Por lo tanto, debe preguntarse: si una solución queda atrapada para siempre en$R$, y no hay ciclos límite que abordar, ¿qué puede hacer esa solución? Fluyendo hacia un punto de equilibrio estable , por supuesto. De hecho, esto responde a su pregunta: es posible tener una región$R$que es un subconjunto compacto y positivamente invariante del plano de fase, sin soluciones periódicas en él, que todavía contiene un número finito de nodos o puntos espirales: solo necesitaría algunos de esos puntos fijos para ser estable .

Además, preste atención al hecho de que su libro no dice nada sobre un subconjunto compacto y positivamente invariante del plano de fase que está libre de puntos de equilibrio y ciclos límite. Tal región no puede existir, y esta es la esencia misma del Teorema de Poincaré-Bendixson: una vez que logras atrapar una solución dentro de una región como$R$, entonces solo puede acercarse a un punto fijo (estable) o girar en espiral hacia un ciclo límite.

De hecho, existe una tercera posibilidad, la de acercarse a un objeto más complicado llamado gráfico de ciclo (que consiste en un número finito de puntos fijos junto con las órbitas que los conectan). Sin embargo, el espíritu del teorema no cambia: una solución acotada no puede deambular de manera caótica, porque no se permite nada diferente a acercarse a un punto fijo estable, un ciclo límite o un gráfico de ciclo. De hecho, el Teorema de Poincaré-Bendixson es lo que te dice que el caos nunca puede ocurrir en un sistema dinámico bidimensional.