Singularidad de la definición de corriente de Noether

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Singularidad de la definición de corriente de Noether

Física
simetría
teoría de campo
teorema de noethers
formalismo lagrangiano
teoría clásica del campo

usuario306157

En la página 28 de la teoría del campo de Pierre Ramond - Una cartilla moderna está escrito lo siguiente:

"observamos que una corriente conservada no tiene una definición única ya que siempre podemos agregarle la cuádruple divergencia de un tensor antisimétrico [...] También desde $j$ [la corriente de Noether] se conserva solo después del uso de las ecuaciones de movimiento, tenemos la libertad de agregarle cualquier cantidad que desaparezca en virtud de las ecuaciones de movimiento".

No entiendo lo que quiere decir con cualquier cantidad que se desvanece en virtud de las ecuaciones del movimiento .

Connor Behan

Se puede ver un buen ejemplo de esto al comparar las formas de Hilbert y Noether del tensor de tensión.

Respuestas (2)

Singularidad de la definición de corriente de Noether

Se puede ver un buen ejemplo de esto al comparar las formas de Hilbert y Noether del tensor de tensión.

qmecanico · Answer 1

En el primer teorema de Noether , la ecuación de continuidad $^1$

\begin{matrix} (*) & d_{m} j^{m} \approx 0 \end{matrix}

$d_{\mu} J^{\mu}~\approx~0 \tag{*}$ es una ecuación on-shell , es decir, se cumple si se cumplen las EOM [= ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) ]. No necesariamente se mantiene fuera de la cáscara.

Por lo tanto podemos modificar la corriente de Noether $J^{\mu}$ con

términos que desaparecen en el caparazón, y/o
términos de la forma $d_{\nu}A^{\nu\mu}$ , dónde $A^{\nu\mu}=-A^{\mu\nu}$ es un tensor antisimétrico,

sin estropear la continuidad eq. (*).

--

$^1$ El $\approx$ símbolo significa igualdad módulo EOMs.

@Qmechanic Me di cuenta de que pusiste un derivado completo en el $J^{\mu}$ y $\partial_{\mu}A^{\mu\nu}$ término por lo que es $d_{\mu}J^{\mu}$ y $d_{\nu}A^{\nu\mu}$ ¿Es eso intencional?
@josephh: Sí, $d_{\mu}$ es un total en lugar de un derivado de espacio-tiempo explícito, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Muy bien. ¡La notación descuidada está en todas partes entonces! Gracias.

Nogueira · Answer 2

Te puedo dar un ejemplo:

S = \int d t ({\dot{X}}^{+} {\dot{X}}^{-} - X^{+} X^{-})

$S=\int dt \left(\dot x^+\dot x^--x^+ x^-\right)$

tiene una corriente conservada asociada con $x^{\pm}\rightarrow e^{\pm\rho} x^{\pm}$ dada por

j = X^{+} {\dot{X}}^{-} - X^{-} {\dot{X}}^{+}

$j=x^+\dot x^--x^-\dot x^+$

Esto significa que la corriente anterior se conservará si se cumplen las ecuaciones de movimiento. Ahora bien, si le sumamos a esta corriente un término de la forma $\ddot x^++x^+$ el enunciado seguirá siendo verdadero, es decir, la corriente aún se conservará. Esto se debe a que este término que agregué son precisamente las ecuaciones de movimiento.

Si no me equivoco, ninguna corriente es solo una función de las coordenadas del espacio-tiempo. En el ejemplo que diste, esto significa que la corriente es solo una función del tiempo, por lo que la contribución de la ecuación de movimientos será cero.
Puede agregar más dimensiones si lo desea. La corriente en d=0+1 viene dada por una función de tiempo solamente ya que solo hay tiempo para propagarse. Elijo este caso porque es más simple y capta la pregunta. La idea es muy simple, si agrega cosas que desaparecen cuando se satisfacen las ecuaciones de movimiento a la corriente, en realidad está agregando ceros a la ley de conservación, ya que la conservación solo es cierta cuando se satisfacen las ecuaciones de movimiento.
Por cierto, se encuentra la misma simetría, aunque por razones sutilmente diferentes, en el sector fantasma de FP.
@JG Creo que esta simetría aparece en todas partes. Es una simetría U(1).

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usuario306157

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