Sincronización de relojes y relatividad especial

Luego, los relojes se sincronizan con el tiempo.$t_0$[...]

¿Qué relojes y en qué marco? Siempre debe recordar que la sincronización de los relojes que se encuentran en diferentes puntos del espacio es una propiedad que depende del marco. Supongo que te refieres a que los relojes$A$y$B$están sincronizados en el marco de descanso en$A$(o$B$), y que el reloj de la nave espacial está sincronizado con el reloj$A$a medida que pasa. Sin embargo, tenga en cuenta que en este caso el reloj en$B$no se sincronizará con los demás en el resto del marco de la nave.

Cuando la nave espacial se encuentra con B, el primer escenario muestra el reloj de varilla que muestra un valor de tiempo mayor que el reloj de la nave espacial, mientras que el segundo escenario muestra lo contrario. Ambos no pueden ser ciertos, porque uno debe ocurrir cuando B y la nave espacial se encuentran.

El$t_2$al que te refieres en tu primer escenario es diferente del$t_2$en tu segundo escenario. En el primer caso, según el reloj de$B$, el barco llega a$B$en el momento$t_2 = L/u$, dónde$L$es la distancia entre$A$y$B$en el marco de reposo del observador en$B$. El reloj del barco dice$T = t_2/\gamma = L/u\gamma$, dónde$\gamma = (1-u^2/c^2)^{-1/2}$.

En el segundo escenario, un observador en el barco ve que la longitud de la varilla se contrae, con una longitud aparente$L' = L/\gamma$. En consecuencia, punto$B$llega al barco cuando el reloj del barco marca$T=L'/u = L/u\gamma$, de acuerdo con el cálculo anterior.

Además, en el segundo escenario el reloj en$B$nunca se sincronizó con el reloj del barco. Dejar$(x',t')$ser las coordenadas en el marco de la nave y$(x,t)$sean las coordenadas en el marco de la Tierra centradas en el reloj$A$. El evento$(x,t)=(x',t')=(0,0)$corresponde al reloj de paso del barco$A$. De acuerdo con las ecuaciones de transformada de Lorentz,

$$t' = \gamma\left(t-\frac{ux}{c^2}\right)$$ Cuando el barco pasa el reloj$A$, luego el reloj del barco lee$t'=0$y reloj$A$(que se sienta en$x=0$) también lee$t=0$. Sin embargo, el reloj$B$está sentado en$x=L$, Lo que significa que $$t - \frac{uL}{c^2} = 0 \implies t = \frac{uL}{c^2}$$ En otras palabras, el reloj$B$comienza con una compensación de$uL/c^2$según el observador en el barco.

Con eso en mente, el relativista que viaja en el barco reconocería que cuando alcanza el reloj$B$, entonces se leería

$$t_2 =T/\gamma + \frac{uL}{c^2}=\frac{L}{u\gamma^2} + \frac{uL}{c^2} = \frac{L}{u}\left(\frac{1}{\gamma^2} +\frac{u^2}{c^2}\right) = \frac{L}{u}$$ donde el primer término es la lectura del reloj del barco dividida por$\gamma$(debido a la dilatación del tiempo) y el segundo término es el desplazamiento inicial en el reloj$B$. Esto está totalmente de acuerdo con nuestros cálculos anteriores, como se esperaba.

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"Sin embargo, tenga en cuenta que en este caso el reloj en B no estará sincronizado con el reloj del barco". Me temo que no entiendo esto; dado que A está sincronizado con B, y el reloj del barco está sincronizado con A, ¿por qué no están sincronizados los tres relojes?

Este es un punto bastante sutil que merece alguna elaboración. Un marco de referencia puede entenderse como un entramado imaginario de varas de medir con un reloj colocado en cada punto. Los eventos están etiquetados por la posición$x$dónde ocurren y una hora$t$ como se lee en el reloj que se encuentra en$x$. Esto es crucial: la hora de un evento es local .

En principio, los relojes que se encuentran en cada punto de la cuadrícula no tienen nada que ver entre sí. Para hacer un marco de referencia sensato , debemos sincronizarlos de alguna manera, por ejemplo, a través de la sincronización de Einstein . Sin embargo, ahora podemos imaginar que un segundo observador que se mueve con respecto a nosotros tiene su propio marco de referencia. La idea clave de la relatividad especial es que si tanto nosotros como el observador en movimiento sincronizamos nuestro respectivo sistema de relojes, entonces cada uno observará que los relojes del otro no están sincronizados.

La relación específica entre nuestros marcos está dada por las ecuaciones de transformación de Lorentz. Que sean mis coordenadas$(x,t)$y las coordenadas del observador en movimiento ser$(x',t')$; entonces

$$x' = \gamma\big(x-ct\big)$$ $$t' = \gamma\big(t - \frac{vx}{c^2}\big)$$

Considere dos eventos: el primero ocurre en$x=0$y$t=0$, mientras que el segundo ocurre en$x=L$y$t=0$. Es decir, las coordenadas que asigno al primer evento son$(0,0$), y las coordenadas que asigno al segundo evento son$(L,0)$. Las coordenadas que el observador en movimiento asigna al primer evento también son $(0,0)$, pero las coordenadas que asignan al segundo evento son

$$x' = \gamma L$$ $$t' = -\gamma \frac{vL}{c^2}$$

Entonces, aunque diría que los dos eventos son simultáneos (ambos ocurren en$t=0$), el observador en movimiento dirá que no lo son (uno ocurre en$t'=0$, y el otro en$t' = -\gamma vL/c^2$).

De acuerdo con su pregunta original, deje que el primer evento en$(0,0)$ser "el barco pasa el reloj a las$A$cuando el reloj$A$lee 0", mientras que el segundo evento es "reloj$B$lee 0." En mi marco (el resto del marco en el reloj$A$), estos dos eventos son simultáneos; porque relojes$A$y$B$leen cero al mismo tiempo, digo que están sincronizados. Sin embargo, según el observador en movimiento, el evento "reloj$B$lee 0" ocurre en$t'=-\gamma vL/c^2\neq 0$, lo que significa que el reloj en$B$no está sincronizado con el reloj del barco en su marco.

¿Lo que está mal?

Casi siempre en la relatividad especial cuando hay un problema es por olvidarse de la relatividad de la simultaneidad.

En este caso, en el marco del barco, cuando el barco pasa al lado del reloj A y pone su reloj en 0, el reloj B no se pone en 0. En cambio (en unidades naturales), el tiempo en el marco del barco cuando B lee 0 es:

$$t_B=-\frac{v \ x_B}{\sqrt{1-v^2}}$$

Si combina este desplazamiento con la dilatación del tiempo, obtendrá la conclusión correcta de que ambos marcos concuerdan. El tiempo que se muestra en el reloj de la nave espacial es menor que el tiempo que se muestra en el reloj de varilla en B de acuerdo con ambos marcos.

Supongamos que el experimento comienza a las 12 en punto según los tres relojes, y que las velocidades relativas son tales que cuando la nave espacial llega al otro extremo de la barra, el reloj en B en la barra marca las 12:11, mientras que el reloj en la nave espacial muestra 12:10.

Entonces, de acuerdo con los relojes de la varilla, han pasado 11 minutos durante el tiempo que le tomó a la nave espacial moverse entre un extremo de la varilla y el otro, mientras que el reloj de la nave espacial dice que solo han pasado 10 minutos.

En el marco de la nave espacial, sin embargo, eran solo las 11:59 en el otro extremo de la barra cuando la nave espacial salió de A, y en ese momento en el marco de la nave espacial, el reloj en B en la barra marcaba las 12:01. Entonces, desde el punto de vista de la nave espacial, el reloj en B en la barra ha tardado 11 minutos en viajar para encontrarse con la nave, mientras que el reloj en la barra en B se ha movido solo diez minutos.

Verá, por lo tanto, que la apariencia de la dilatación del tiempo es completamente recíproca, y surge en este caso del hecho de que el reloj en B en la varilla no está sincronizado con el tiempo de la nave espacial local.

Más generalmente, la dilatación del tiempo surge porque los planos de tiempo constante en un marco de referencia están inclinados en comparación con los planos de tiempo constante en cualquier otro marco de referencia en movimiento. Esto significa que solo puede sincronizar los relojes entre los dos marcos en un solo punto: cuanto más se aleje de ese punto, más se desincronizarán los relojes en los dos marcos.

Puede generar el efecto de la dilatación del tiempo de manera bastante simple. Imagine caminar a 1 m/s por un corredor en el que hay personas a intervalos de 10 m, cada una de las cuales sostiene un reloj, y los relojes están configurados de modo que cada reloj por el corredor esté 1 s adelante del reloj anterior. Cuando pasa el primer reloj, se establece en las 12:00, al igual que su reloj. Después de diez segundos, ha caminado 10 m y ha llegado al siguiente reloj. En tu reloj dice 12:00:10, pero el reloj dice 12:00:11, porque va un segundo adelante. Caminas otros 10 m y te encuentras con el siguiente reloj. Ahora tu reloj marca las 12:00:20, mientras que el reloj al que acabas de llegar marca las 12:00:22, porque está adelantado un segundo respecto al anterior. Después de caminar otros 10 m, se encuentra con otro reloj que marca las 12:00:33, mientras que su reloj marca ahora las 12:00:30.

Verá que su reloj parece andar lento cuando compara su lectura con los relojes que está pasando, pero de hecho su reloj y los relojes van exactamente a la misma velocidad; la apariencia de dilatación del tiempo surge porque los relojes están todos fuera de sincronía entre sí .

Ahora, suponga que caminando detrás de usted hay personas con intervalos de 10 m que usan relojes que se han configurado para que cada uno esté 1 segundo por delante del reloj anterior en la línea. Imagínese cómo estas personas que caminan con relojes son vistas por la primera de las personas estacionarias que sostienen relojes. A las 12:00:00 pasa con las 12:00:00 en su reloj. Diez segundos después, el siguiente caminante de la fila pasa con las 12:00:11 en su reloj. Después de otros diez segundos, otro caminante pasa con 12:00:22 en su reloj. Diez segundos después, pasa otro caminante con las 12:00:33 en su reloj, mientras que en el reloj solo son las 12:00:30. La aparición de la dilatación del tiempo es, por lo tanto, totalmente recíproca: la persona inmóvil ve que su reloj pierde tiempo en comparación con los relojes que pasan,Ambos grupos de personas, los que caminan con los relojes y los que están de pie sosteniendo los relojes, piensan que sus relojes están atrasados ​​(es decir, el tiempo dilatado) en comparación con los relojes que están pasando, a pesar de que todos los relojes están marcando exactamente el mismo ritmo. El efecto de la dilatación del tiempo surge no porque los relojes se desaceleren cuando se mueven, sino porque el tiempo en un marco no está sincronizado con el tiempo en el otro.