Derivación de la transformación de Lorentz de la relatividad especial con un observador estacionario y otro en movimiento

A las 56:59 de esta conferencia del prof. Shankar presenta una demostración de la transformación de lorentz con un observador en reposo y otro moviéndose a una velocidad$u$de la siguiente manera:

Dejar$(x,t)$sean las coordenadas del observador en reposo y$(x',t')$sean las coordenadas del observador en movimiento. Considerando los postulados de la relatividad, se motivó que:

$$x'= \gamma(x-ut) \tag{1}$$ $$x= (x' + ut')\gamma \tag{2}$$ Multiplica (1) y (2) y con algo de álgebra: $$1= \gamma^2 \left[1+ u \frac{t'}{x'} - u \frac{t}{x}-u^2 \frac{t}{x} \frac{t'}{x'} \right]$$ A las 55:38 , el profesor afirma que$x=ct$y$x'=ct'$, por eso, $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{ 1- \frac{u^2}{c^2}}}$$

El último paso es donde estoy atascado, es decir:$x=ct$y$x'=ct'$. Estoy un poco confundido aquí porque las funciones de coordenadas deben ser iguales a la velocidad de la luz por el tiempo. Esperando una respuesta que pueda explicar estas dos igualdades con más claridad.