Reglas de Feynman para interacciones masivas de bosones vectoriales

Estoy atascado al comienzo de un problema en el que me dan un término de interacción que modifica el QED Lagrangiano regular. Implica la interacción entre un campo de fotones y un bosón vectorial masivo: L i norte t 1 = 1 4 gramo 1 GRAMO m v F m v . Aquí, F m v es el tensor de campo electromagnético. Similarmente, GRAMO m v = ∂ m B v − ∂ v B m dónde B m es el campo vectorial masivo.

Estoy tratando de derivar la regla de Feynman para este vértice. No estoy seguro de qué hacer. Por lo general, solo bajo un 4-momento cuando tengo un campo con derivadas en el Lagrangiano, pero en este caso, parece que dos de los 4-momentos terminarían formando un producto escalar juntos, mientras que los otros dos no lo harían. , y me quedaría con un término sin índices y dos términos con índices, lo cual no tiene sentido. ¿Alguien sabe cuál es la regla de Feynman para este vértice y por qué es así?

EDITAR: creo que la regla de Feynman podría ser i METRO = − i gramo 1 ( gramo m v − k m a v k ⋅ q ) . Obtuve esto mediante un cálculo análogo para encontrar el propagador de fotones. ¿Está permitido hacer esto?

El problema principal que estoy tratando de resolver involucra el diagrama F F ¯ → ϕ ϕ ∗ . De los comentarios, me doy cuenta de que tengo dos opciones: 1) puedo diagonalizar la matriz de masa y usar la nueva masa como masa en el propagador entre los dos vértices finales o 2) puedo considerar la serie infinita de A propagador > B propagador > ... > A propagador > B propagador y obtener la misma respuesta. El problema que tengo con la diagonalización de la matriz de masa es que en problemas anteriores en los que he diagonalizado una matriz de masa, mi término de interacción no contenía términos derivados. Entonces, mi intento de encontrar una solución (que estoy intentando ahora) es simplemente reducir un impulso de 4 e ir desde allí. Pero entonces, ¿eso no haría que mi momento de masa dependiera? Con el segundo método, creo que aún necesitaría conocer la regla de Feynman para el vértice de interacción, que vuelve a mi problema original.

¿Es esto un problema de HW?
No, no es. Estoy haciendo problemas adicionales después de completar el semestre pasado, y este es uno de los que encontré.

Respuestas (1)

Su primer término de interacción es bilineal en 2 campos de calibre. Los términos de esta forma indican que necesita diagonalizar su matriz de masa. Por lo tanto, podría resolver las reglas de Feynman para su primera interacción, pero su pregunta es un punto discutible ya que no tendrá que hacer la teoría de la perturbación para este término, se asimilará a los propagadores en la base diagonal.

EDITAR:

Solo para que obtenga la respuesta a su pregunta original, la regla de Feynman para su primera interacción se obtiene mediante la transformación de Fourier de la Acción:

S = gramo 1 4 ∫ d 4 X F m GRAMO m v = gramo 1 4 ∫ d 4 X ( ∂ m F v − ∂ v F m ) ( ∂ m GRAMO v − ∂ v GRAMO m )

= gramo 1 2 ∫ d 4 X ( F v ∂ m ∂ v GRAMO m − F v ◻ GRAMO v ) = ∫ d 4 pag F ~ v ( − pag ) [ gramo 1 2 ( pag 2 η v m − pag v pag m ) ] GRAMO ~ m ( pag )

donde la regla de vértice de Feynman está ahora entre corchetes.

Ahora, para reformular mi punto original, el Lagrangiano

L = 1 4 F m v F m v + 1 4 GRAMO m v GRAMO m v + metro 2 GRAMO m GRAMO m + gramo 1 1 4 F m v GRAMO m v

es trivial, en que es gratis. Puedes ver esto haciendo la teoría de la perturbación, o puedes facilitarte las cosas y diagonalizar la parte cuadrática de la acción.

Avísame si quieres más aclaraciones.

Entonces, en general, tengo un proceso a nivel de árbol donde F + F ¯ → ϕ + ϕ ∗ , dónde F es un fermión, tendría dos propagadores: el fotón se libera del F F ¯ aniquilación, luego hay un vértice donde el fotón pasa al bosón vectorial masivo, luego el bosón vectorial masivo pasa al par antiescalar escalar. ¿Estás diciendo que puedo diagonalizar la matriz de masa y luego escribir el producto de dos propagadores como un solo propagador?
@Joe: ya casi llegas. El dof de 'propagación' no será el fotón y el B -campo, pero las combinaciones lineales de ellos, y sus masas dependerán de gramo 1 . Pero en términos de estos nuevos campos, ¡los vértices de interacción se ven diferentes! Si elige ignorar este problema de matriz de masa (puede), el propagador de fotones completo contendrá términos de la forma << línea de fotones > línea B > línea de fotones > ...> línea B > línea de fotones >>. La suma de todos estos términos da lugar a una masa (dependiendo de gramo 1 ). Del mismo modo, el pleno B -propagator contendría términos con inserciones de líneas de fotones.
Entonces, si tuviera que eludir la diagonalización de la matriz de masa, ¿no necesitaría una regla de Feynman para el vértice de interacción? Hice un problema antes donde hice el segundo método del que hablaste, pero creo que necesitaba saber cuál era la regla de Feynman para hacer eso.
@JoeJoe: si no diagonaliza la matriz de masa, entonces sí, necesitaría un vértice adicional, pero el vértice solo tendría un solo F m entrando y GRAMO m campo que sale. Así que es una especie de vértice extraño y solo estás haciendo las cosas más difíciles para ti. La diagonalización de la matriz de masa tiene en cuenta todas estas interacciones de una vez por todas. Como un ejemplo más simple, siempre podría tratar el término de masa de un fermión como una perturbación con propagadores izquierdo y derecho separados, pero ¿por qué molestarse cuando puede tratar todas las inserciones de masa de una vez por todas como un fermión masivo?
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