Simulación QFT simple: cómo hacerlo

Me gustaría escribir una simulación QFT simple para un campo escalar libre con un término de interacción cúbico. Sin embargo, me quedé un poco atascado. Trataré de describir lo que creo que entiendo.

Quiero echar un vistazo a un campo con densidad lagrangiana

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 - \frac{1}{2} \phi'^2 - K \phi^3.$$

Entonces, para un campo clásico, la ecuación de movimiento (de la ecuación de Euler-Lagrange) sería

$$\ddot{\phi} - \phi'' = -3K \phi^2.$$

Sin embargo, me gustaría trabajar con un campo cuántico. Usando el procedimiento estándar de segunda cuantización, debo construir el hamiltoniano

$$H = \int \mathrm{d} x \left [ \frac{1}{2} \Pi^2 + \frac{1}{2} \phi'^2 + K \phi^3 \right ]$$

dónde$\Pi = \partial \mathcal{L} / \partial \dot{\phi}$.

Ahora debería hacer una transformación.$\Pi(x,t) \to \hat{\Pi}(x,t)$y$\phi(x,t) \to \hat{\phi}(x,t)$. Hasta ahora, todo bien. Definición de la relación de conmutación$[\hat{\phi}(x,t),\hat{\Pi}(x',t')] = i \delta(x-x',t-t')$, de alguna manera debería hacer contacto con los operadores de escalera$a$y$a^{\dagger}$. Sin embargo, realmente no veo cómo. Para un campo libre, encuentro las soluciones clásicas gratuitas similares a ondas y luego promuevo los pesos de los diferentes modos a los operadores. Para un campo con interacción, realmente no sé qué hacer. Este es mi primer problema.

En segundo lugar, una vez que hago contacto con los operadores de escalera, puedo expresar cualquier estado del sistema como una concatenación de operadores de escalera en el estado de vacío.$|0\rangle$como$a^{\dagger}_{p_2} a^{\dagger}_{p_1} |0\rangle$. Entonces, un estado general debe describirse como una superposición de todos los estados posibles de todos los números de partículas.

$$|\psi\rangle = \left( \lambda_0 + \sum_{\mathrm{p_1}} \lambda_1(p_1) a^{\dagger}(p_1) + \sum_{\mathrm{p_1,p_2}} \lambda_2(p_1,p_2) a^{\dagger}(p_2) a^{\dagger}(p_1) + \begin{bmatrix}\mbox{higher particle}\\\mbox{number states}\end{bmatrix} \right) |0\rangle.$$

Tal estado tiene funciones de parámetros$\lambda_0$,$\lambda_1(p_1)$,$\lambda_2(p_1,p_2)$etc. dando amplitudes de diferentes estados de número de partículas particulares con diferentes momentos.

Ahora, estoy confundido en cuanto a si la evolución del sistema debería estar completamente contenida en el$\lambda$s como funciones del tiempo, o si los operadores de escalera deben evolucionar en el tiempo. En cualquier caso, ¿cómo puedo obtener la ecuación de movimiento del sistema QFT? Este es mi segundo problema.

Agradecería si alguien pudiera ayudarme con esto. En particular, mi objetivo es ver las funciones$\lambda$evolucionando en el tiempo en una computadora.

Muchas gracias.

SSF