Simplificar un producto de sumatorias

Question

Simplificar un producto de sumatorias

productos
suma
Matemáticas

LlameanteWilderbeest

tengo, para un entero par fijo y positivo $n$ , el siguiente producto de sumatorias:

$\left ( \sum_{i = n-1}^{n-1}i \right )\cdot \left ( \sum_{i = n-3}^{n-1} i \right )\cdot \left ( \sum_{i = n-5}^{n-1}i \right )\cdot ... \cdot \left (\sum_{i=5}^{n-1}i \right )\cdot \left (\sum_{i=3}^{n-1}i \right )\cdot \left (\sum_{i=1}^{n-1}i \right )$

Dónde están $\frac{n}{2}$ grupos de sumatorias multiplicadas entre sí.

Por ejemplo, considere el caso donde $n=4$ :

$\left ( \sum_{i = 3}^{3}i \right )\cdot \left ( \sum_{i = 1}^{3} i \right ) = \left ( 3 \right )\left ( 1+2+3 \right ) = 18$

He intentado en vano simplificar el producto. Quizá haya identidades de las que podría hacer uso.

Editar: puedo expandir el producto para aclarar:

(norte - 1) \cdot [(norte - 3) + (norte - 2) + (norte - 1)] \cdot [(norte - 5) + . . . + (norte - 1)] \cdot . . . \cdot [3 + 4 + . . . + (norte - 1)] \cdot [1 + 2 + . . . + (norte - 1)]

$\left ( n-1 \right )\cdot \left [ (n-3)+(n-2)+(n-1) \right ]\cdot \left [ (n-5)+...+(n-1) \right ]\cdot ... \cdot\left [3+4+...+(n-1)\right ]\cdot \left [1+2+...+(n-1) \right ]$

Desde donde puedo ver un $(n-1)^{\frac{n}{2}}$ término, pero los otros están bastante revueltos.

greg martin

No veo ninguna forma particular en que esto se vaya a simplificar. De hecho, calcularía los valores de cada suma (son solo progresiones aritméticas), por ejemplo, el último factor es solo

(n - 1) n / 2

$(n-1)n/2$ - eso debería hacer las cosas un poco más simples, una vez que se hayan agotado las sumas.

Respuestas (2)

Simplificar un producto de sumatorias

No veo ninguna forma particular en que esto se vaya a simplificar. De hecho, calcularía los valores de cada suma (son solo progresiones aritméticas), por ejemplo, el último factor es solo $(n-1)n/2$ - eso debería hacer las cosas un poco más simples, una vez que se hayan agotado las sumas.

Brian M Scott · Answer 1

Dejar $n=2m$ . Tu expresión es entonces

\begin{aligned} (2 metro - 1) \cdot \frac{3}{2} (2 norte - 4) \cdot \frac{5}{2} (2 norte - 6) \cdot \dots \cdot \frac{norte - 1}{2} norte \\ = 1 \cdot (2 metro - 1) \cdot 3 (2 metro - 2) \cdot 5 (2 metro - 3) \cdot \dots \cdot (2 metro - 1) metro \\ = \prod_{k = 1}^{metro} (2 k - 1) (2 metro - k) \\ = (2 metro - 1)!! \frac{(2 metro - 1)!}{(metro - 1)!} \\ = \frac{(2 metro)!}{2^{metro} metro!} \cdot \frac{(2 metro - 1)!}{(metro - 1)!} \\ = \frac{(2 metro)!}{2^{metro}} (\binom{2 metro - 1}{metro}) \\ = \frac{norte!}{2^{norte / 2}} (\binom{norte - 1}{norte / 2}) . \end{aligned}

$\begin{align*} &(2m-1)\cdot\frac32(2n-4)\cdot\frac52(2n-6)\cdot\ldots\cdot\frac{n-1}2n\\\\ &\qquad=1\cdot(2m-1)\cdot3(2m-2)\cdot5(2m-3)\cdot\ldots\cdot(2m-1)m\\\\ &\qquad=\prod_{k=1}^m(2k-1)(2m-k)\\\\ &\qquad=(2m-1)!!\frac{(2m-1)!}{(m-1)!}\\\\ &\qquad=\frac{(2m)!}{2^mm!}\cdot\frac{(2m-1)!}{(m-1)!}\\\\ &\qquad=\frac{(2m)!}{2^m}\binom{2m-1}m\\\\ &\qquad=\frac{n!}{2^{n/2}}\binom{n-1}{n/2}\;. \end{align*}$

Esto es exactamente lo que estaba buscando. ¡Muchas gracias!

jon claus · Answer 2

Tenga en cuenta que $\displaystyle \sum_{i=n - 2k +1}^{n-1} i = (2k - 1)(n-k)$ . Dejar $n = 2m$

\begin{aligned} \prod_{k = 1}^{\frac{norte}{2}} (2 k - 1) (norte - k) & = \prod_{k = 1}^{metro} (2 k - 1) \prod_{k = 1}^{metro} (2 metro - k) \\ = (2 metro - 1)!! \frac{(2 metro - 1)!}{(metro - 1)!} \end{aligned}

$\begin{align*}\prod_{k = 1}^{\frac{n}{2}} (2k - 1)(n- k) &= \prod_{k = 1}^{m} (2k - 1) \prod_{k=1}^m (2m - k) \\ &=(2m-1)!! \frac{(2m-1)!}{(m-1)!} \end{align*}$

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