La suma de productos de diferencia relacionados con determinantes con factoriales

Dejar$n \in \mathbb{N}$y$a_0, a_1, \dots, a_n$ser enteros positivos tales que$a_i\neq a_j$para$i \neq j$. Pruebalo

$$\sum_{0\leq k \leq n} \prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq k}} \frac{1}{a_i-a_k} = 0$$

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El problema original era evaluar el determinante de la siguiente matriz:

$$A =\, \begin{bmatrix} a_0!&(a_0+1)!&\cdots&(a_0+n)!\\ a_1!&(a_1+1)!&&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ a_n!&\cdots&\cdots&(a_n+n)! \end{bmatrix}$$ y el determinante debe ser igual a $$\prod_{0\leq i \leq n}a_i! \prod_{0\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)\,.$$ Para probar esto, probé la expansión de cofactores y la inducción matemática con respecto a$n$; $$\begin{align*} \mathrm{det}\,A &= \sum_{0\leq k \leq n} (-1)^k a_k! \prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq k}}(a_i+1)!\prod_{\substack{0\leq i<j\leq n\\i,j\neq k}}(a_j-a_i)\\ &= \prod_{0\leq i \leq n}a_i! \sum_{0\leq k \leq n} (-1)^k \prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq k}}(a_i+1)\prod_{\substack{0\leq i<j\leq n\\i,j\neq k}}(a_j-a_i)\\ &= \prod_{0\leq i \leq n}a_i! \prod_{0\leq i<j\leq n}(a_j-a_i) \sum_{0\leq k \leq n}\prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq k}}\frac{a_i+1}{a_i-a_k} \end{align*}$$ y ahora está hecho si la suma del lado más a la derecha es igual a$1$. Apliqué de nuevo la inducción para probar esto; Dejar$b_i=a_i+1$entonces la suma es $$\begin{align*} \sum_{0\leq k \leq n}\prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq k}}\frac{b_i}{b_i-b_k} &= \sum_{0\leq k < n}\prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq k}}\frac{b_i}{b_i-b_k} + \prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq n}}\frac{b_i}{b_i-b_n}\\ &= \sum_{0\leq k < n}\frac{b_n}{b_n-b_k}\prod_{\substack{0\leq i < n\\i\neq k}}\frac{b_i}{b_i-b_k} + \prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq n}}\frac{b_i}{b_i-b_n}\\ &= \sum_{0\leq k < n}\left(1+\frac{b_k}{b_n-b_k}\right)\prod_{\substack{0\leq i < n\\i\neq k}}\frac{b_i}{b_i-b_k} + \prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq n}}\frac{b_i}{b_i-b_n} \end{align*}$$ de la hipótesis de inducción, $$\begin{align*} &= 1 + \sum_{0\leq k < n}\frac{b_k}{b_n-b_k}\prod_{\substack{0\leq i < n\\i\neq k}}\frac{b_i}{b_i-b_k} + \prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq n}}\frac{b_i}{b_i-b_n}\\ &= 1 + \prod_{0\leq i<n} b_i \left(\sum_{0\leq k < n}\frac{1}{b_n-b_k}\prod_{\substack{0\leq i < n\\i\neq k}}\frac{1}{b_i-b_k} + \prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq n}}\frac{1}{b_i-b_n}\right)\\ &= 1 + \prod_{0\leq i<n} b_i \left(\sum_{0\leq k < n}\prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq k}}\frac{1}{b_i-b_k} + \prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq n}}\frac{1}{b_i-b_n}\right)\\ &= 1 + \prod_{0\leq i<n} b_i\sum_{0\leq k\leq n}\prod_{\substack{0\leq i \leq n\\i\neq k}}\frac{1}{b_i-b_k}\,. \end{align*}$$ Finalmente se probará si la suma de la mayor parte del lado derecho es$0$, y esto es idéntico al lado izquierdo del primer problema, excepto por$a_i$es ahora$b_i$.

Más tarde, logré probar el problema original de otra manera, por lo que el primer problema también está probado. Sin embargo, estoy buscando una prueba más 'directa', no a través de una ruta tan complicada. ¿Alguien tiene idea para esto? Gracias.