Factorización alternativa de ∏k=1nk!k+1∏k=1nk!k+1\prod\limits^{n}_{k=1}k!^{k+1}

Question

Factorización alternativa de ∏k=1nk!k+1∏k=1nk!k+1\prod\limits^{n}_{k=1}k!^{k+1}

productos
factorial
suma
Matemáticas

Oporópolis panglossiano

Pregunta: ¿Cómo puedo expresar sucintamente (usando las notaciones de producto y suma) la siguiente expresión?

{norte}^{(norte + 1)} (norte - 1)^{(norte + 1) + norte} (norte - 2)^{(norte + 1) + norte + (norte - 1)} \cdot \cdot \cdot 1^{(norte + 1) + norte + (norte - 1) + \cdot \cdot \cdot + 2}

$n^{(n+1)}(n-1)^{(n+1)+n}(n-2)^{(n+1)+n+(n-1)}\cdot\cdot\cdot 1^{(n+1)+n+(n-1)+\cdot\cdot\cdot+2}$

Dato curioso: Lo siguiente es, de hecho, alternativamente expresable como:

\prod_{k = 1}^{norte} k!^{k + 1} = \prod_{k = 1}^{norte} s F (k) H (k) \to s F (k) = \prod_{i = 1}^{k} i!; H (k) = \prod_{i = 1}^{k} i^{i}

$\prod^{n}_{k=1}k!^{k+1}=\prod^{n}_{k=1}sf(k)H(k) \hspace{1mm}\rightarrow \hspace{3mm}sf(k)=\prod^{k}_{i=1}i!\hspace{1mm};H(k)=\prod^{k}_{i=1}i^i$

EDITAR: Creo que lo entendí: la expresión dada es igual a:

\prod_{k = 1}^{norte} k^{\sum_{i = 1}^{(norte + 1)} - \sum_{i = 1}^{k}} = \prod_{k = 1}^{norte} k^{\frac{1}{2} [(norte + 1) (norte + 2) - k (k + 1)]}

$\prod^{n}_{k=1}k^{\sum^{(n+1)}_{i=1}-\sum^{k}_{i=1}}=\prod^{n}_{k=1}k^{\frac{1}{2}[(n+1)(n+2)-k(k+1)]}$

Oporópolis panglossiano

@ClaudeLeibovici Parece funcionar bien. Tanto la expresión como la respuesta que encontré conducen a la misma respuesta para n=3:

3^{4} \cdot 2^{7} \cdot 1^{9}

$3^4 \cdot 2^7 \cdot 1^9$ . El

\prod_{k = 1}^{3} k!^{k + 1} = (1^{2}) (1^{3}) (2^{3}) (1^{4}) (2^{4}) (3^{4}) = 1^{9} \cdot 2^{7} \cdot 3^{4}

$\prod^{3}_{k=1}k!^{k+1}=(1^2)(1^3)(2^3)(1^4)(2^4)(3^4)=1^9 \cdot 2^7 \cdot 3^4$ también rinde lo mismo.

Claudio Leibovici

Lo siento ! Tuve un error tipográfico. Tu formula es perfecta!! Borraré mi primer y estúpido comentario. De hecho, es una solución muy interesante e inteligente.

+ 1

$+1$ entonces.

Claudio Leibovici

De nada ! Nuevamente, este es un buen trabajo y me disculpo por mi estúpido error y comentario que se debió a un error tipográfico de mi parte. Salud.

Respuestas (1)

Factorización alternativa de ∏k=1nk!k+1∏k=1nk!k+1\prod\limits^{n}_{k=1}k!^{k+1}

@ClaudeLeibovici Parece funcionar bien. Tanto la expresión como la respuesta que encontré conducen a la misma respuesta para n=3: $3^4 \cdot 2^7 \cdot 1^9$ . El $\prod^{3}_{k=1}k!^{k+1}=(1^2)(1^3)(2^3)(1^4)(2^4)(3^4)=1^9 \cdot 2^7 \cdot 3^4$ también rinde lo mismo.
Lo siento ! Tuve un error tipográfico. Tu formula es perfecta!! Borraré mi primer y estúpido comentario. De hecho, es una solución muy interesante e inteligente. $+1$ entonces.
De nada ! Nuevamente, este es un buen trabajo y me disculpo por mi estúpido error y comentario que se debió a un error tipográfico de mi parte. Salud.

epi163sqrt · Answer 1

Su representación es agradable y correcta. Aquí hay una derivación

$\begin{aligned} \prod_{k = 1}^{norte} {k!}^{k + 1} & = \prod_{k = 1}^{norte} \prod_{j = 1}^{k} j^{k + 1} \\ (1) & = \prod_{j = 1}^{norte} \prod_{k = j}^{norte} j^{k + 1} \\ = \prod_{j = 1}^{norte} j^{\sum_{k = j}^{norte} (k + 1)} \\ = \prod_{j = 1}^{norte} j^{(\frac{norte (norte + 1)}{2} - \frac{(j - 1) j}{2}) + (norte - (j - 1))} \\ = \prod_{j = 1}^{norte} j^{\frac{1}{2} [(norte + 1) (norte + 2) - j (j + 1)]} \end{aligned}$ $\begin{align*} \prod_{k=1}^n{k!}^{k+1}&=\prod_{k=1}^n\prod_{j=1}^kj^{k+1}\\ &=\prod_{j=1}^n\prod_{k=j}^{n}j^{k+1}\tag{1}\\ &=\prod_{j=1}^n{j}^{\sum_{k=j}^n(k+1)}\\ &=\prod_{j=1}^n{j}^{\left(\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(j-1)j}{2}\right)+\left(n-(j-1)\right)}\\ &=\prod_{j=1}^nj^{\frac{1}{2}[(n+1)(n+2)-j(j+1)]} \end{align*}$

Comentario:

En (1) intercambiamos los productos. Tenga en cuenta que el rango del índice es $1\leq j\leq k\leq n$ .

Factorización alternativa de ∏k=1nk!k+1∏k=1nk!k+1\prod\limits^{n}_{k=1}k!^{k+1}

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Claudio Leibovici

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