Diferencia física entre simetrías de calibre y simetrías globales

La primera respuesta a tal pregunta siempre debe ser: una simetría de calibre no tiene un significado "físico", es un artefacto de nuestra elección para las coordenadas/campos con los que describimos el sistema (cf. ¿La simetría de calibre no es una simetría? , ¿Cuál es la importancia de que el vector potencial no sea único? , "Quantization of gauge systems" de Henneaux y Teitelboim). Cualquier simetría de calibre del lagrangiano es equivalente a una restricción en el formalismo hamiltoniano, es decir, una relación no trivial entre las coordenadas y sus momentos canónicos.

En principio, cualquier simetría de calibre puede eliminarse pasando al espacio de fase reducido que tiene menos grados de libertad canónicos. La simetría de calibre no tiene significado físico en el sentido de que puede deshacerse de ella pasando a una descripción equivalente (clásica) del sistema. Una transformación de calibre no tiene significado físico porque todos los estados relacionados por una transformación de calibre son físicamente el mismo estado . Formalmente, debe cociente la simetría de calibre de su espacio de estados para obtener el espacio de estados real.

Por el contrario, una simetría global es una simetría "verdadera" del sistema. No reduce los grados de libertad del sistema, sino que "sólo" corresponde a cantidades conservadas (ya sea por el teorema de Noether en la formulación lagrangiana o por una ecuación de evolución casi trivial en el formalismo hamiltoniano). Es físico en el sentido de que los estados relacionados por él pueden considerarse "equivalentes", pero no son lo mismo.

Curiosamente, para QED escalar, la simetría global da una "corriente Noether" bastante inconveniente, ¡una que depende del campo de calibre (cf. esta respuesta )! Entonces, la afirmación de que el "teorema de Noether" nos da la conservación del número de carga/partícula no es ingenuamente cierta en el caso escalar (pero lo es en el caso de Dirac). La obtención de la conservación de la carga a partir de la simetría de calibre también se trata en EM clásico: vínculo claro entre la simetría de calibre y la conservación de la carga .

Entonces, ¿por qué usar una descripción tan "estúpida" en primer lugar? La respuesta es que, en la práctica, deshacerse de los grados de libertad superfluos es más problemático de lo que vale. Podría romper la invariancia manifiesta bajo otras simetrías (sobre todo la invariancia de Lorentz), y puede haber obstrucciones (p. ej., obstrucciones de Gribov ) para fijar un indicador de forma consistente. La cuantificación de las teorías de calibre se comprende mucho mejor en el formalismo BRST, donde la simetría de calibre se conserva e implementa en la teoría cuántica, que en el formalismo de Dirac, que requiere que usted pueda resolver las restricciones en el formalismo hamiltoniano.

Entonces, la diferencia clave entre un calibre y una simetría global es que uno está en nuestra descripción teórica , mientras que el otro es una propiedad del sistema . Ninguna cantidad de travesuras hará que una carga puntual sea menos esféricamente simétrica (simetría de rotación global). Pero, por ejemplo, la simetría de calibre electromagnético simplemente se desvanece si consideramos los campos eléctricos y magnéticos en lugar de los cuatro potenciales. Sin embargo, en ese caso perdemos la capacidad de escribir la formulación covariante de Lagrangian del electromagnetismo: la corriente$J^\mu$ debe acoplarse a algún otro cuadrivector, y ese cuatrivector es simplemente el potencial$A^\mu$.

Hay otro aspecto crucial de las simetrías de calibre: cada bosón vectorial sin masa está necesariamente asociado a una simetría de calibre (para una prueba, consulte la "Teoría cuántica de campos" de Weinberg ). No hay otra manera en una teoría de campo cuántico consistente: desea bosones vectoriales sin masa como fotones: obtiene una simetría de calibre. No importa cuán "no física" sea esta simetría: en el marco covariante de la teoría cuántica de campos, simplemente no tenemos otra opción que expresar dicho contenido de partículas en términos de un campo de calibre. Esto podría verse como el verdadero significado "físico" de las simetrías de calibre desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos. Yendo un paso más allá, es la ruptura espontáneade tales simetrías que crea bosones vectoriales masivos. Una teoría de bosones vectoriales es casi inevitablemente una teoría de simetrías gauge.

Como comentario aparte: en principio, uno podría intentar convertir cualquier simetría global no anómala en una simetría de calibre (cf. ¿Cuándo se puede medir una simetría global? ). La pregunta es si medirlo produce nuevos estados físicos y si estos estados se ajustan a las observaciones.

Esta es una pregunta muy amplia, por lo que hay muchas formas de responderla. Aquí hay una interpretación.

Una distinción principal entre las simetrías de calibre y las simetrías globales es que las simetrías de calibre conducen a interacciones de largo alcance entre partículas cargadas; la simetría de calibre exige la existencia de un campo sin masa que pueda propagarse a distancias arbitrariamente largas (en una fase sin espacios).

La distinción se caracteriza mejor por la regla de superselección asociada a la simetría de calibre. Recuerde que una teoría cuántica de campos con espacio de Hilbert$\mathcal{H}$se dice que obedece una regla de superselección si el espacio de Hilbert se puede escribir como una suma

$$\mathcal{H} = \bigoplus_n \mathcal{H}_n,$$ tal que para cualquier operador local $\mathcal{O}(x)$, $$\langle n|\mathcal{O}(x)|m\rangle = 0$$ por $n\neq m$, dónde $|n\rangle$y $|m\rangle$son estados arbitrarios en $\mathcal{H}_n$y $\mathcal{H}_m$. los $\mathcal{H}_n$se denominan sectores de superselección. Físicamente, las reglas de superselección aparecen en las teorías de calibre cuando existen estados con influencia de largo alcance que no pueden ser aniquilados por los operadores locales. Clasifican los "cabellos" de largo alcance asociados a estados físicos.

En el contexto del ejemplo QED escalar que mencionaste, el espacio de Hilbert se divide en sectores de superselección etiquetados por la carga$Q$asociado con transformaciones de calibre U(1) constantes. Los operadores locales de calibre invariable siempre tienen cargo cero y no pueden cambiar el cargo de un estado. Físicamente, una partícula cargada da lugar a un campo eléctrico de largo alcance, que no puede ser destruido (o creado) por ningún operador local en un volumen espacial infinito. Esta es la característica esencial de las teorías de calibre que describí anteriormente.

Desactivando el acoplamiento de calibre, la simetría U(1) global correspondiente no conduce a tal regla de superselección. El espacio de Hilbert todavía está clasificado por el número de carga, pero los operadores locales pueden cargarse bajo la simetría. No hay un "cabello de largo alcance" asociado a una simetría global.

A riesgo de ser demasiado detallado, debo señalar una sutileza: la discusión anterior asumió que la teoría de calibre estaba en una fase sin pausas. (Para el ejemplo de QED escalar, esto se denomina "fase de Coulomb"). Otras fases pueden romper la regla de superselección. Por ejemplo, si deformamos la teoría tal que$\phi$adquiere un vev (en calibre unitario), la teoría se encuentra entonces en una fase con intervalos (la "fase de Higgs") y se rompe la regla de superselección. Físicamente, las partículas cargadas están rodeadas por un condensado de carga que filtra el campo eléctrico de largo alcance. Los estados ya no tienen cabello de largo alcance y no existe una regla de superselección. Por otro lado, las teorías de calibre no abelianas se encuentran comúnmente en la "fase de confinamiento", que es otro tipo de fase con brechas en la que los efectos no perturbadores obligan a todos los estados a llevar carga cero. La regla de superselección se rompe y no hay interacciones de largo alcance.

Para una buena discusión en este sentido, consulte la sección 2 de este documento .