Simetría fermiónica local y acción GS

Si un mapa lineal$A:V\to V$en un espacio vectorial finito$V$cuadrados a cero

$$\tag{1} A^2~=~0,$$

entonces la imagen de$A$debe estar en el núcleo de$A$:

$$\tag{2} {\rm Im}(A)~\subseteq~{\rm Ker}(A),$$

y por lo tanto

$$\tag{3} \dim {\rm Im}(A) ~\leq ~\dim {\rm Ker}(A).$$

Ahora también sabemos que

$$\tag{4} \dim {\rm Im}(A) ~= ~\dim V - \dim {\rm Ker}(A).$$

Juntos (3) y (4) producen que la dimensión del núcleo de$A$es al menos la mitad de la dimensión del espacio completo$V$,

$$\tag{5} \dim {\rm Ker}(A)~\geq ~ \frac{1}{2}\dim V ,$$

lo que implica que al menos la mitad de los valores propios de$A$son cero.

Vayamos a un marco donde el vector similar a la luz$p$Sólo tiene$p^0$y$p^1$como componentes distintos de cero con igual magnitud. Así que la pregunta se reduce a las propiedades de$\Gamma^0 + \Gamma^1$(o quizás$\Gamma^0 - \Gamma^1$pero el siguiente argumento funciona de la misma manera para eso).

Si observamos el arranque explícito de matrices gamma de 2d a través de productos de Kronecker repetidos, vemos que el$\Gamma^0 + \Gamma^1$en dimensiones pares$d=2k$es$(\sigma^1 + -\mathrm{i}\sigma^2)(\otimes \sigma^3)^{k-1}$, donde por$(\otimes \sigma_3)^{k-1}$Quiero decir que tomamos el producto Kronecker con$\sigma_3$ $k-1$-veces.

Desde$\sigma^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$, el rango de$A\otimes \sigma^3$es el doble del rango de$A$. Entonces, en particular, si el rango de$A$es la mitad de la dimensión, también lo es el rango de$A\otimes \sigma^3$.

Finalmente,$\sigma^1 + -\mathrm{i}\sigma^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 2 & 0\end{pmatrix}$, que obviamente tiene medio rango, y por lo tanto también$\Gamma^0 + \Gamma^1$en todas las dimensiones pares. Tenga en cuenta que la declaración "la mitad de los valores propios son cero" en realidad es incorrecta , ya que$\Gamma^0 + \Gamma^1$es nilpotente y los operadores nilpotentes solo tienen cero valores propios . La afirmación correcta es que el rango del operador es la mitad de la dimensión total.