Simetría del tensor dieléctrico

Question

Simetría del tensor dieléctrico

NeónGabu

En el libro Principios de óptica de Max Born, en el capítulo XIV, la tasa de cambio en la densidad de energía eléctrica $w_{e}$ se generaliza a

\begin{matrix} (1) & \frac{d w_{mi}}{d t} = \frac{1}{4 π} \sum_{k yo} {mi}_{k} ϵ_{k yo} {\dot{mi}}_{yo} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} \tag 1 \end{equation}$

para tener en cuenta los medios anisotrópicos. Se dice, sin embargo, que el lado derecho de la ecuación anterior no puede interpretarse como la tasa de cambio en la densidad de energía eléctrica a menos que

\begin{matrix} (2) & \frac{d w_{mi}}{d t} = \frac{1}{4 π} \sum_{k yo} {mi}_{k} ϵ_{k yo} {\dot{mi}}_{yo} = \frac{1}{8 π} \sum_{k yo} ϵ_{k yo} ({mi}_{k} {\dot{mi}}_{yo} + {\dot{mi}}_{k} {mi}_{yo}) \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l}\, = \frac{1}{8\pi}\sum_{kl}\,\epsilon_{kl}( E_{k}\dot{E}_{l}+ \dot{E}_{k}E_{l}) \tag 2 \end{equation}$

es decir, a menos que

\begin{matrix} (3) & \sum_{k yo} ϵ_{k yo} ({mi}_{k} {\dot{mi}}_{yo} - {\dot{mi}}_{k} {mi}_{yo}) = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \sum_{kl}\,\epsilon_{kl}( E_{k}\dot{E}_{l} - \dot{E}_{k}E_{l}) = 0 \tag 3 \end{equation}$

lo que implica $\epsilon_{kl} = \epsilon_{lk}$ , dado que $k$ y $l$ son índices ficticios.

Ahora, para medios isotrópicos $\epsilon_{kl} = \epsilon\,\delta_{kl}$ y la ecuación (1) es la esperada. Sin embargo, no entiendo por qué esta expresión solo puede identificarse con el cambio en la densidad de energía eléctrica si se cumple el requisito de la ecuación (2). Para mí, todo parece un razonamiento circular porque solo puedes escribir la ecuación (2) si el tensor es simétrico para empezar. ¿Me pueden ayudar a entender este razonamiento?

Respuestas (1)

Simetría del tensor dieléctrico

Emilio Pisanty · Answer 1

El requisito de simetría de permutación en acoplamientos de esta forma es una característica bastante universal, y la razón principal es que para que la energía sea una función bien definida de las variables de estado, es necesario que sea independiente de la ruta.

Esto es más fácil de ver usando un ejemplo concreto, así que considere un caso 2D en el que el tensor de susceptibilidad lee

ϵ = (\begin{matrix} ϵ_{X X} & ϵ_{y X} \\ ϵ_{X y} & ϵ_{y y} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ ϵ_{X y} & 0 \end{matrix}),

$\epsilon = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{yx} \\ \epsilon_{xy} & \epsilon_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \epsilon_{xy} & 0 \end{pmatrix},$ y considere dos procesos que toman

(E_{x}, E_{y})

$(E_x,E_y)$ de

(0, 0)

$(0,0)$ a

(E_{0}, E_{0})

$(E_0,E_0)$ ,

a través de la pierna $(E_x,E_y): (0,0) \to (0,E_0)\to (E_0,E_0)$ , versus
a través de la pierna $(E_x,E_y): (0,0) \to (E_0,0)\to (E_0,E_0)$ ,

con cada lado del cuadrado atravesado uniformemente durante un tiempo $T$ .

En el primer proceso, tienes

\frac{d w_{mi}}{d t} = \frac{1}{4 π} \sum_{k yo} {mi}_{k} ϵ_{k yo} {\dot{mi}}_{yo} = \frac{1}{4 π} {mi}_{X} ϵ_{X y} {\dot{mi}}_{y} = 0

$\frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} = \frac{1}{4\pi}\,E_{x}\epsilon_{xy}\dot{E}_{y} = 0$ en el partido de ida, porque

E_{x} = 0

${E}_x=0$ , y en el segundo tramo tienes

{\dot{E}}_{y} = 0

$\dot{E}_y=0$ , así que también obtienes

\frac{d w_{mi}}{d t} = \frac{1}{4 π} \sum_{k yo} {mi}_{k} ϵ_{k yo} {\dot{mi}}_{yo} = \frac{1}{4 π} {mi}_{X} ϵ_{X y} {\dot{mi}}_{y} = 0,

$\frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} = \frac{1}{4\pi}\,E_{x}\epsilon_{xy}\dot{E}_{y} = 0,$ y concluyes que

Δ w_{e} = 0

$\Delta w_e=0$ .

Por otro lado, en el segundo proceso, también tienes $\dot{E}_y=0$ , así que también tienes $\frac{dw_{e}}{dt} =0$ , pero el lado de cierre del cuadrado es diferente, ya que

\frac{d w_{mi}}{d t} = \frac{1}{4 π} \sum_{k yo} {mi}_{k} ϵ_{k yo} {\dot{mi}}_{yo} = \frac{1}{4 π} {mi}_{X} ϵ_{X y} {\dot{mi}}_{y} = \frac{1}{4 π} {mi}_{0} ϵ_{X y} \frac{{mi}_{0}}{T} = \frac{1}{4 π} \frac{1}{T} ϵ_{X y} {mi}_{0}^{2} = 0,

$\frac{dw_{e}}{dt} = \frac{1}{4\pi}\sum_{kl}\,E_{k}\epsilon_{kl}\dot{E}_{l} = \frac{1}{4\pi}\,E_{x}\epsilon_{xy}\dot{E}_{y} = \frac{1}{4\pi}\,E_{0}\epsilon_{xy}\frac{E_0}{T} = \frac{1}{4\pi}\,\frac{1}{T}\epsilon_{xy}E_{0}^2 = 0,$ y concluyes que

Δ w_{e} = \frac{1}{4 π} ϵ_{x y} E_{0}^{2} \neq 0

$\Delta w_e = \frac{1}{4\pi}\epsilon_{xy}E_{0}^2\neq 0$ .

Como puede ver, el tensor de acoplamiento con el que comencé es inconsistente con $w_e$ siendo una función de las variables de estado. Una versión un poco más formalizada del mismo argumento es suficiente para mostrar que esta propiedad es factible si y solo si el tensor de acoplamiento es simétrico en cada par de índices.

Simetría del tensor dieléctrico

NeónGabu

Respuestas (1)

Emilio Pisanty

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