Irradiación electromagnética de un dieléctrico: transformando la ecuación de la fuerza de estricción

Considere el caso simple de la irradiación electromagnética de un dieléctrico isotrópico homogéneo, despreciando la dispersión del índice de refracción. Suponiendo un medio transparente, la densidad espacial de las fuerzas que actúan sobre el dieléctrico en un campo electromagnético externo estático se puede dar como

$$\mathbf{f} = - \nabla p - \nabla \epsilon \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} - \nabla \mu \dfrac{\langle \mathbf{H}^2 \rangle}{8 \pi} + \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} + \left( \rho \dfrac{\partial{\mu}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{H}^2 \rangle}{8 \pi} \right] + \dfrac{\epsilon \mu - 1}{4 \pi c} \dfrac{\partial}{\partial{t}}\langle [ \mathbf{E} \times \mathbf{H}] \rangle.$$

$p$es la presión en el medio (para una densidad dada$\rho$y temperatura$T$en campo cero.
$\epsilon$y$\mu$son la permitividad y la permeabilidad magnética.
$c$es la velocidad de la luz.
Los paréntesis angulares denotan un promedio durante un período de tiempo mucho mayor que el período de alternancia característico de la luz.

Se dice que, al expresar$\langle E^2 \rangle$a través de$I$(la intensidad de la luz) e introduciendo el índice de refracción$n = \sqrt{\epsilon}$, podemos transformar la ecuación de la fuerza de estricción a

$$\mathbf{f}_{\text{str}} = \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} \right] = \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{n}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{I}{c} \right].$$

Estoy tratando de entender cómo exactamente obtenemos$\nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} \right] = \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{n}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{I}{c} \right]$. He estado investigando mucho para tratar de entender esto, pero estoy atascado.

Mi mejor intento es el siguiente. Como se dijo aquí , en óptica, el valor promediado en el tiempo del flujo radiado se conoce técnicamente como irradiancia, más a menudo simplemente como intensidad. El artículo de Wikipedia para la intensidad dice que, si$I$es la intensidad local (no estoy completamente seguro de si esta es la suposición correcta para nuestro caso), entonces tenemos que$I = \dfrac{cn \epsilon_0}{2}|E|^2$, dónde$\epsilon_0$es la permitividad del vacío. Y así, si asumimos que$\langle \mathbf{E}^2 \rangle = |E|^2$(lo que parece ser cierto, dada la respuesta aquí ), entonces obtenemos que$|E|^2 = \dfrac{2I}{cn \epsilon_0}$, y entonces$\nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} \right] = \nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{n^2}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{I}{4 \pi c n \epsilon_0} \right]$. Pero no está claro cómo se procede a partir de aquí.

Algunos otros hechos potencialmente relevantes que encontré durante mi investigación son los siguientes:

• Según el artículo sobre irradiancia (diferente del artículo sobre intensidad),$E_{{\mathrm {e}}}={\frac {n}{2\mu _{0}{\mathrm {c}}}}E_{{\mathrm {m}}}^{2}\cos \alpha ={\frac {n\varepsilon _{0}{\mathrm {c}}}{2}}E_{{\mathrm {m}}}^{2}\cos \alpha$. si dejamos eso$\cos(\alpha) = 1$para nuestro caso, entonces esto podría ser relevante.
• El artículo sobre la permitividad del vacío establece que$\varepsilon _{0}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}$, dónde$\mu_0$es la permeabilidad al vacío.
• Esta página sobre "densidad de energía, flujo y potencia" tiene numerosos datos de aspecto relevante que incluyen$E$y valores promediados en el tiempo, y parece que podrían cancelar los factores necesarios, como$4\pi$o$8\pi$, de alguna manera.

Agradecería mucho que la gente se tomara el tiempo de explicar exactamente cómo obtenemos de$\nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{\epsilon}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{\langle \mathbf{E}^2 \rangle}{8 \pi} \right]$a$\nabla \left[ \left( \rho \dfrac{\partial{n}}{\partial{\rho}} \right)_T \dfrac{I}{c} \right]$.