Energía en Material Dieléctrico

Question

Energía en Material Dieléctrico

Anónimo

El trabajo total realizado para construir la carga libre desde cero hasta la configuración final en presencia de un material dieléctrico es:

W = \frac{1}{2} \int \vec{D} \cdot \vec{mi} d τ .

$W = \frac{1}{2}\int \vec{D} \cdot \vec{E} d\tau.$ Obtuvimos esto suponiendo que el material dieléctrico está fijo en su posición y luego traemos la carga gratuita.

Δ ρ_{f}

$\Delta \rho_f$ un poco a la vez. Así, el trabajo realizado sobre la carga libre incremental viene dado por:

Δ W = \int (Δ ρ_{F}) V d τ .

$\Delta W = \int (\Delta \rho_f)V d \tau.$

Desde $\nabla \cdot \vec{D} = \rho_f$ , $\Delta \rho_f = \nabla \cdot (\Delta \vec{D})$ , dónde $\Delta \vec{D}$ es el cambio resultante en $\vec{D}$ , entonces

Δ W = \int [\nabla \cdot (Δ \vec{D})] V d τ .

$\Delta W = \int [\nabla \cdot (\Delta \vec{D})]V d \tau.$ y por lo tanto por integración por partes

Δ W = \int \nabla \cdot [(Δ \vec{D}) V] d τ + \int (Δ \vec{D}) \cdot \vec{mi} d τ .

$\Delta W = \int \nabla \cdot [(\Delta \vec{D})V]d \tau + \int(\Delta \vec{D}) \cdot \vec{E} d \tau.$ El teorema de la divergencia convierte el primer término en una integral de superficie, que desaparece si integramos sobre todo el espacio. Por lo tanto, el trabajo realizado es igual a

Δ W = \int (Δ \vec{D}) \cdot \vec{mi} d τ .

$\Delta W = \int (\Delta \vec{D}) \cdot \vec{E} d \tau.$

Preguntas: ¿Por qué $\Delta \vec{D}V$ tiene que ir a cero más rápido que $\frac{1}{r^2}$ para la integral de superficie (del teorema de la divergencia) $\int \nabla \cdot [(\Delta \vec{D})V]d \tau = \oint V \Delta \vec{D} \cdot da = 0$ ?

En esta derivación (una explicación completa está aquí ) estamos explicando el hecho de que a medida que traemos carga libre, el material dieléctrico se polariza y, por lo tanto, el campo eléctrico (y por lo tanto el potencial en cualquier punto $V(r)$ ) cambia debido a la adición de $\Delta \rho_f$ ? Si es así, ¿dónde en la derivación?

Gracias.

Respuestas (1)

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Víctor Buendía · Answer 1

Lee atentamente la demostración que publicaste. Tienes que traer las cargas desde el infinito, por lo que la integral inicial se aplica a todo el espacio (en el enlace esto se representa como $d^3r$ ).

El término $\Delta \vec{D}V$ debería ir como $1/r^2$ porque, como dijimos, necesitamos evaluar la integral en todo el espacio. cambiamos el $d^3r \equiv dV$ a $dA$ en el teorema de la divergencia, pero después de integrar todavía tenemos que hacer el límite $A\rightarrow+\infty$ para integrarse en el espacio. Si pensamos en este diferencial como una esfera en crecimiento, entonces podemos escribir $dA=r^2\sin\theta d\theta d\phi$ . Tenemos que integrar esto, y luego tomar el límite se vuelve $r\rightarrow +\infty$ . Esto da un resultado infinito si no eliminamos el término $r^2$ dentro de la integral. Para evitar este resultado, $\Delta \vec{D}V$ debería ir como $1/r^2$ para cancelar el $r^2$ término. Además, la integral tiene que ser cero, porque si la superficie tiende a infinito y suponemos que el potencial es cero en este punto, no vamos a tener ninguna contribución de esta integral.

Sobre la polarización del dieléctrico, estoy bastante seguro de que está incluida en la derivación, y creo que está incluida en el hecho de que estás usando $\vec{D}$ . Recuerda eso $\vec{D} = \varepsilon \vec{E}+\vec{P}$ dónde $\vec{P}$ es la densidad de polarización. Si el medio está polarizado, debe incluir el vector de densidad de polarización en su cálculo.

Ah, creo que entiendo. Si el integrando no llega a cero lo suficientemente rápido (más rápido que $\frac{1}{r^2}$ ), tendríamos un integrando distinto de cero $V \Delta \vec{D}$ en la superficie de la esfera que va al infinito (así que $\text{limit}A \to \infty$ ) por lo tanto, la integral de superficie divergiría y $\Delta W$ también divergiría lo que no queremos. ¿Qué pasa si consideramos $V \vec{D}$ va a cero exactamente tan rápido como $\frac{1}{r^2}$ , decir $V\vec{D} = \frac{1}{r^2}\hat{r}$ por lo que la integral de superficie no tiene que ir a cero y $\Delta W$ todavía puede converger? Entonces, ¿por qué la integral de superficie tiene que ser cero?
@V_Programmer Si tiene la oportunidad, consulte mi publicación sobre este tema.
@JohnDoe No estoy 100% seguro, pero creo que tiene que llegar a cero porque configuraste el cero potencial en el infinito (el documento al que te vinculaste decía claramente esta elección de potencial). @Alex no puede ver la publicación, enlace incorrecto I piensa ^^"

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Anónimo

Respuestas (1)

Víctor Buendía

usuario100411

Alex

Víctor Buendía

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