Simetría de inversión de tiempo y T ^ 2 = -1

Hay dos posibles respuestas a por qué$T^2=-1$:

a) ¿Por qué no? La fase total de un estado cuántico no es física. Entonces, una simetría puede realizarse como una representación proyectiva. Aquí T puede verse como una representación proyectiva de la inversión del tiempo$T_{phy}$que satisfacen$T^2_{phy}=1$.

b) Si definimos la simetría de inversión temporal como una representación regular en un sistema de muchos cuerpos con$T^2=1$, las operaciones de simetría que actúan sobre cuasipartículas fraccionadas pueden realizarse proyectivamente, con$T^2_{quasi}=-1$.

La respuesta para las transformaciones CPT es obvia. Una transformación CPT es una rotación de 180 grados en la teoría euclidiana, por lo que CPT seguido de CPT es una rotación de 360 ​​grados, lo que le da un signo menos en los estados fermiónicos y un signo más en los estados bosónicos. Esto es cierto para todas las teorías invariantes de Lorentz, o incluso teorías que violan espontáneamente la invariancia de Lorentz y mantienen un CPT intacto.

El caso en el que tiene una simetría T se puede entender a partir de lo anterior. No siempre es cierto que la simetría T es cuadrada a 1 en bosones y -1 en fermiones, solo es cierto para aquellos fermiones y bosones cuya simetría CP no es cuadrada a -1. Esto es cierto para realizaciones normales de simetría CP, pero no para casos inusuales, donde alguna simetría de paridad puede tener fases locas, porque se mezcla con otra simetría discreta de la teoría.

Por ejemplo, comience con el electromagnetismo con la paridad habitual y considere un pseudoescalar real$\phi_3$, que se puede convertir en un pseudoescalar acoplándolo a un fermión invariante de paridad usando$\gamma_5$, entonces hay un término en la acción.

$$\phi_3 \bar{\psi}\gamma_5 \psi$$

Considere un segundo escalar complejo$\phi_1$acoplado a$\phi_3$como sigue:

$$(\phi_1^2 \phi_3 + \bar\phi^2 \phi_3)$$

Ahora el cuadrado de$\phi_1$necesita obtener un signo menos en cualquier transformación de paridad hipotética. Esto se puede arreglar ya sea multiplicando por i, o intercambiando las partes real e imaginaria de$\phi$. Para excluir este último, puede agregar un término a la acción que es

$$A(\phi^4 + \bar\phi^{4}) + iB(\phi^4 - \bar{\phi}^4)$$

Esto es invariante bajo una transformación de paridad, pero solo enviando$\phi\rightarrow \pm i \phi$. El cuadrado de la paridad es -1, por lo que el operador T en este campo$\phi$cuadrados con signo negativo.

Este tipo de cosas es fácil de inventar en teorías no renormalizables. La teoría anterior muestra que incluso la renormalizabilidad no excluye estas travesuras.